Üçgenin yardımcı elemanları, kenarortay inşası ve ağırlık merkezi.
Yardımcı elemanlar
Bir üçgenin kenarları ve açıları temel elemanlarıdır. Üçgenin içinde çizilen bazı özel doğru parçaları ise yardımcı elemanlardır. Bunlar üçgeni anlamamızı ve problemleri çözmemizi kolaylaştırır.
| Eleman | Tanım |
|---|---|
| Açıortay | Bir köşedeki açıyı iki eş açıya böler ve karşı kenara uzanır. |
| Yükseklik | Bir köşeden karşı kenara (ya da uzantısına) dik inen doğru parçasıdır. |
| Kenar orta dikme | Bir kenarın orta noktasından geçen ve o kenara dik olan doğrudur. |
| Kenarortay | Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. |
Her üçgende üç açıortay, üç yükseklik, üç kenar orta dikme ve üç kenarortay vardır.
Yükseklik: dik iniş
Yüksekliği çizmek için gönye kullanırız: gönyenin dik kenarını karşı kenara yerleştirip köşeden dik iner.
- Dar açılı üçgende üç yükseklik de üçgenin içindedir.
- Dik üçgende dik kenarlar aynı zamanda yüksekliktir.
- Geniş açılı üçgende iki yükseklik üçgenin dışına düşer; karşı kenarın uzantısı kullanılır.
💡 Üçgenin alanı = (taban · o tabana ait yükseklik) ÷ 2. Hangi kenarı taban seçersen seç, alan aynı çıkar!
Kenarortay ve ağırlık merkezi
Kenarortay bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştirir; karşı kenarı iki eş parçaya böler.
Kenarortay inşası (A köşesinden BC kenarına):
- BC kenarının orta dikmesini inşa ederek orta noktası D’yi bul.
- A ile D’yi ölçüsüz cetvelle birleştir.
Üçgenin üç kenarortayı tek bir noktada kesişir. Bu noktaya ağırlık merkezi denir.
💡 Kartondan kesilmiş bir üçgen, ağırlık merkezinden bir kalemin ucuna konursa dengede durur. Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren 2’ye 1 oranında böler.
Hangisi hangisi? Karşılaştırma
Yardımcı elemanlar kolayca karışabilir. Ayırt etmenin yolu, hangi özelliği taşıdıklarına bakmaktır:
- Dik mi? → Yükseklik ve kenar orta dikme diktir. Açıortay ve kenarortay genellikle dik değildir.
- Köşeden mi başlıyor? → Açıortay, yükseklik ve kenarortay bir köşeden başlar. Kenar orta dikme bir köşeden geçmek zorunda değildir.
- Kenarı ortadan mı bölüyor? → Kenarortay ve kenar orta dikme kenarı ortadan böler.
- Açıyı mı bölüyor? → Yalnızca açıortay.
⚠️ Eşkenar üçgende aynı köşeden çizilen açıortay, yükseklik ve kenarortay çakışır (aynı doğru parçasıdır). İkizkenar üçgende bu durum yalnızca tepe açısından çizilenler için geçerlidir.
Kavramlar
- Kenarortay
- Köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçası.
- Ağırlık merkezi
- Üç kenarortayın kesiştiği nokta; üçgenin denge noktası.
- Yükseklik
- Köşeden karşı kenara (veya uzantısına) dik inen doğru parçası.
- Gönye
- Dik açıyı çizmeye yarayan üçgen biçimli çizim aracı.
- Açıortay: açıyı iki eş açıya böler
- Yükseklik: köşeden karşı kenara dik
- Kenar orta dikme: kenarın ortasından dik
- Kenarortay: köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştirir
- Üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir
- Geniş açılı üçgende iki yükseklik dışarıda kalır
Örnek soru ve çözümü
Bir ABC üçgeninde A köşesinden çizilen kenarortay BC kenarını D noktasında kesiyor. |BC| = 14 cm ise |BD| kaç cm’dir?
Kenarortay karşı kenarı iki eş parçaya böler: |BD| = 14 ÷ 2 = 7 cm.
Çözümlü örnekler
1. ABC üçgeninde m(A) = 70°’dir. A köşesinden çizilen açıortay A açısını kaç derecelik açılara ayırır? Kolay
Çözüm70 ÷ 2 = 35°; iki açı da 35°’dir.
2. Tabanı 10 cm, bu tabana ait yüksekliği 6 cm olan üçgenin alanı kaç cm²’dir? Orta
Çözüm(10 · 6) ÷ 2 = 30 cm².
3. Bir eşkenar üçgende bir köşeden çizilen yükseklik karşı kenarı nasıl böler? Neden? Zor
ÇözümEşkenar üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay çakışır. Kenarortay olduğu için karşı kenarı iki eş parçaya böler; açıortay olduğu için de 60°’lik açıyı 30°-30° ayırır.
Sık yapılan hatalar
- Kenarortay ile yüksekliği karıştırmak; kenarortay dik olmak zorunda değildir.
- Geniş açılı üçgende yüksekliği üçgenin içine çizmeye çalışmak.
- Kenar orta dikmenin karşı köşeden geçtiğini sanmak.
Biliyor muydun?
Üçgenin üç yüksekliğinin, üç açıortayının ve üç kenar orta dikmesinin de ayrı ayrı birer noktada kesiştiğini biliyor muydun? Bu noktaların her birinin özel bir adı ve özelliği vardır.