Doğal sayılardan tam sayılara, tam sayılardan rasyonel sayılara uzanan sayı ailesi; sayı doğrusu ve mutlak değer.
Sayı ailesi büyüyor
Sayıları ilk öğrendiğimizde yalnızca saymak için kullanırız: 1, 2, 3, … Bunlar sayma sayılarıdır. Başına 0’ı eklersek doğal sayıları elde ederiz: 0, 1, 2, 3, …
Ama günlük hayatta doğal sayılar yetmez. Termometre sıfırın altını gösterebilir, asansör yerin altındaki kata inebilir, bir hesap borçlu olabilir. Bu durumları anlatmak için negatif sayılara ihtiyaç duyarız.
- Tam sayılar: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayılardan oluşur. Tam sayılar kümesi ℤ ile gösterilir.
- 0 (sıfır) ne pozitif ne negatiftir.
- Pozitif sayıların başındaki “+” işareti genellikle yazılmaz: +7 ile 7 aynı sayıdır.
💡 Her doğal sayı bir tam sayıdır; ama her tam sayı doğal sayı değildir. Örneğin −4 bir tam sayıdır, doğal sayı değildir.
Sayı doğrusu ve sıralama
Tam sayıları bir doğru üzerinde, aralarında eşit uzaklık olacak biçimde gösteririz. 0’ın sağında pozitif, solunda negatif sayılar bulunur.
- Sayı doğrusunda sağdaki sayı her zaman daha büyüktür.
- Bu yüzden −2 > −5’tir; çünkü −2, −5’in sağındadır.
- Bütün pozitif sayılar sıfırdan, sıfır da bütün negatif sayılardan büyüktür.
⚠️ Negatiflerde “rakamı büyük olan büyüktür” düşüncesi yanlıştır: −9, −1’den küçüktür. Borcu 9 TL olan, borcu 1 TL olandan daha zor durumdadır.
Rasyonel sayı nedir?
a ve b tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi ℚ ile gösterilir.
- a paydır, b paydadır. Payda 0 olamaz; çünkü bir sayıyı 0’a bölmek tanımsızdır.
- 3/4, −2/5, 7/1 ve 0/9 birer rasyonel sayıdır.
- Her tam sayı bir rasyonel sayıdır: 5 = 5/1, −8 = −8/1, 0 = 0/1.
- Negatif bir kesrin işareti paya, paydaya ya da kesrin önüne yazılabilir: −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4).
| Sayı | Doğal mı? | Tam mı? | Rasyonel mi? |
|---|---|---|---|
| 6 | ✓ | ✓ | ✓ |
| −6 | ✗ | ✓ | ✓ |
| 2/3 | ✗ | ✗ | ✓ |
| 0 | ✓ | ✓ | ✓ |
💡 Doğal sayılar ⊂ Tam sayılar ⊂ Rasyonel sayılar. Kümeler iç içe geçmiş halkalar gibidir.
Rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek
Bir rasyonel sayıyı sayı doğrusunda göstermek için önce hangi iki tam sayı arasında olduğunu buluruz, sonra aradaki birimi payda kadar eş parçaya böleriz.
- 7/4 sayısını gösterelim: 7/4 = 1 tam 3/4 olduğu için 1 ile 2 arasındadır.
- 1 ile 2 arasını 4 eş parçaya böleriz.
- 1’den sonra 3 parça ilerleriz.
Negatif sayılarda aynı işi sıfırın solunda yaparız: −3/2 = −1 tam 1/2 olduğu için −1 ile −2’nin tam ortasındadır.
Mutlak değer: sıfıra uzaklık
Bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir ve | | sembolüyle gösterilir.
- |5| = 5, çünkü 5, sıfırdan 5 birim uzaktadır.
- |−5| = 5, çünkü −5 de sıfırdan 5 birim uzaktadır.
- |0| = 0.
- Uzaklık hiçbir zaman negatif olamaz: mutlak değer her zaman 0 ya da pozitiftir.
- Mutlak değerleri eşit olan iki farklı sayıya ters (zıt) sayılar denir: 4 ile −4 gibi. Ters sayıların toplamı 0’dır.
⚠️ |−7| = 7’dir ama −|7| = −7’dir. Eksi işareti mutlak değerin dışındaysa sonuç negatif olur.
Günlük hayattan: Deniz seviyesinden 300 m yükseklikteki bir tepe ile 300 m derinlikteki bir dalgıç, deniz seviyesine aynı uzaklıktadır. İkisinin konumu +300 ve −300’dür; mutlak değerleri 300’dür.
Kavramlar
- Tam sayı
- Negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayıların hepsi. ℤ ile gösterilir.
- Rasyonel sayı
- a ve b tam sayı, b ≠ 0 iken a/b biçiminde yazılabilen sayı. ℚ ile gösterilir.
- Mutlak değer
- Bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığı; asla negatif değildir.
- Ters (zıt) sayı
- Sıfıra eşit uzaklıkta, işaretleri farklı iki sayı: 3 ve −3.
- Payda
- Kesir çizgisinin altındaki sayı; bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü söyler, 0 olamaz.
- Tam sayılar: …, −2, −1, 0, 1, 2, … · 0 ne pozitif ne negatif
- Sayı doğrusunda sağdaki sayı daha büyüktür: −2 > −5
- a/b (b ≠ 0) biçimindeki sayılar rasyoneldir
- Her tam sayı rasyoneldir: −8 = −8/1
- |a| = a’nın sıfıra uzaklığı · |−5| = |5| = 5
- Ters sayıların toplamı 0’dır
Örnek soru ve çözümü
−3, |−4|, −|2|, 0 ve 5/2 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
Önce mutlak değerleri hesaplayalım: |−4| = 4, −|2| = −2. 5/2 = 2,5’tir. Sayılar: −3, 4, −2, 0, 2,5. Küçükten büyüğe: −3 < −2 < 0 < 2,5 < 4, yani −3 < −|2| < 0 < 5/2 < |−4|.
Çözümlü örnekler
1. Aşağıdakilerden hangileri tam sayı değildir? −9, 0, 3/4, 12, −1/2 Kolay
Çözüm3/4 ve −1/2 iki tam sayı arasında kalır, tam sayı değildir (ama rasyoneldir). −9, 0 ve 12 tam sayıdır.
2. Bir dalgıç deniz seviyesinin 18 m altında, bir martı deniz seviyesinin 12 m üstündedir. İkisinin konumunu tam sayıyla yazınız. Hangisi deniz seviyesine daha uzaktır? Orta
ÇözümDalgıç: −18, martı: +12. Uzaklıklar mutlak değerdir: |−18| = 18, |12| = 12. 18 > 12 olduğu için dalgıç deniz seviyesine daha uzaktır.
3. |x| = 6 eşitliğini sağlayan tam sayıları bulunuz. Orta
ÇözümSıfıra 6 birim uzaklıkta iki sayı vardır: x = 6 ya da x = −6.
4. |a| = 3 ve |b| = 5 olan a ve b tam sayıları için a + b toplamının alabileceği en küçük ve en büyük değerler kaçtır? Zor
Çözüma = 3 ya da −3; b = 5 ya da −5. Olası toplamlar: 3 + 5 = 8, 3 + (−5) = −2, −3 + 5 = 2, −3 + (−5) = −8. En küçük değer −8, en büyük değer 8’dir.
Sık yapılan hatalar
- Negatif sayılarda rakamı büyük olanı büyük sanmak: −7 < −2’dir.
- |−a| ile −|a|’yı karıştırmak: |−3| = 3 ama −|3| = −3.
- Mutlak değerin negatif çıkabileceğini düşünmek; uzaklık hiçbir zaman negatif değildir.
- Paydanın 0 olabileceğini düşünmek: 5/0 bir rasyonel sayı değildir, tanımsızdır.
Biliyor muydun?
Negatif sayıları ilk kullananlardan biri 7. yüzyılda yaşamış Hint matematikçi Brahmagupta’dır. Pozitif sayılara “servet”, negatif sayılara “borç” diyordu. Avrupa’da negatif sayıların kabul görmesi ise neredeyse bin yıl sürdü!