Kesir, ondalık ve devirli ondalık gösterim; rasyonel sayıları karşılaştırma ve sıralama.
Bir sayı, birçok görünüm
Aynı rasyonel sayı farklı biçimlerde yazılabilir. Yarım pizza için “1/2”, “0,5” ya da “%50” diyebiliriz; üçü de aynı niceliktir.
- Kesir gösterimi: 3/4
- Ondalık gösterim: 0,75
- Yüzde gösterimi: %75
- Model gösterimi: 4 eş parçaya bölünmüş bir bütünün 3 parçası
Bir kesri ondalık gösterime çevirmek için payı paydaya böleriz: 3 ÷ 4 = 0,75.
Sonlu ve devirli ondalık gösterim
Payı paydaya böldüğümüzde iki şey olabilir:
- Bölme bir yerde biter: 3/8 = 0,375. Buna sonlu ondalık gösterim denir.
- Bölme hiç bitmez ve rakamlar belli bir düzenle tekrar eder: 1/3 = 0,333…, 5/11 = 0,4545… Buna devirli ondalık gösterim denir.
Tekrar eden rakamın (ya da rakam grubunun) üstüne çizgi çekilir: 0,333… = 0,3̅ ve 0,4545… = 0,4̅5̅. Tekrar eden kısma devir denir.
💡 Sadeleştirilmiş bir kesrin paydasında yalnızca 2 ve 5 çarpanları varsa ondalık gösterim sonludur (1/4, 7/20, 3/8). Paydada 3, 7, 11 gibi başka asal çarpanlar varsa gösterim devirlidir (1/3, 2/7, 5/6).
Devirli ondalığı kesre çevirmek
Devirli ondalık gösterimler de birer rasyonel sayıdır; yani kesir olarak yazılabilir. En sade yolu:
Virgülden hemen sonra başlayan devirde: devir kaç basamaksa paydaya o kadar 9 yazılır.
- 0,3̅ = 3/9 = 1/3
- 0,4̅5̅ = 45/99 = 5/11
- 0,1̅ = 1/9
Devirden önce devretmeyen basamak varsa: pay = (sayının tamamı) − (devretmeyen kısım); paydaya devirli basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır.
- 0,16̅ = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6
⚠️ 0,9̅ = 9/9 = 1’dir! 0,999… sonsuza kadar gitse de 1’e eşittir; “1’den biraz küçük” değildir.
Rasyonel sayıları karşılaştırma
İki rasyonel sayıyı karşılaştırmanın birkaç yolu vardır:
- Paydaları eşitle: 3/4 ile 5/6 → 9/12 ile 10/12 → 5/6 daha büyüktür.
- Payları eşitle: 3/7 ile 3/5 → payları aynı olanlarda paydası küçük olan büyüktür: 3/5 > 3/7.
- Ondalık gösterime çevir: 0,75 ile 0,8 → 0,8 daha büyüktür.
- Sayı doğrusunu kullan: sağdaki sayı büyüktür.
Negatiflerde dikkat: −1/2 ile −1/3’ü karşılaştıralım. Pozitif hâlleri 1/2 > 1/3’tür; ama negatiflerde sıra tersine döner: −1/2 < −1/3.
⚠️ 0,25 ile 0,3: basamak sayısı fazla olan büyük değildir. 0,3 = 0,30 > 0,25.
Sıralama stratejisi
Birden çok rasyonel sayıyı sıralarken:
- Önce negatifleri, sıfırı ve pozitifleri ayır.
- Her grubu kendi içinde karşılaştır (negatiflerde mutlak değeri büyük olan küçüktür).
- Gerekirse hepsini ondalık gösterime çevir.
Örnek: 2/3, −0,4, 0,6̅, −1/2, 0,65 sayılarını sıralayalım.
- Negatifler: −0,4 ve −1/2 = −0,5 → −0,5 < −0,4
- Pozitifler: 2/3 = 0,666…, 0,6̅ = 0,666…, 0,65 → 0,65 < 0,6̅ = 2/3
- Sonuç: −1/2 < −0,4 < 0,65 < 0,6̅ = 2/3
Kavramlar
- Ondalık gösterim
- Rasyonel sayının virgüllü yazılışı: 0,75.
- Devirli ondalık
- Ondalık kısmında bir rakam ya da rakam grubu sonsuza kadar tekrar eden gösterim: 0,3̅.
- Devir
- Devirli ondalık gösterimde tekrar eden basamak ya da basamaklar.
- Denk kesirler
- Farklı yazılan ama aynı sayıyı gösteren kesirler: 1/2 = 2/4 = 3/6.
- Kesir → ondalık: pay ÷ payda
- Payda yalnız 2 ve 5 çarpanlıysa sonlu, değilse devirli
- 0,3̅ = 3/9 = 1/3 · 0,4̅5̅ = 45/99
- 0,9̅ = 1
- Payları eşit kesirlerde paydası küçük olan büyüktür
- Negatiflerde sıra tersine döner: −1/2 < −1/3
Örnek soru ve çözümü
7/12 kesrinin ondalık gösterimi sonlu mudur, devirli midir? Gösterimi yazınız.
12 = 2·2·3 olduğu için paydada 3 çarpanı vardır; gösterim devirlidir. 7 ÷ 12 = 0,58333… = 0,583̅.
Çözümlü örnekler
1. 9/20 kesrini ondalık gösterimle ve yüzdeyle yazınız. Kolay
Çözüm9/20 = 45/100 = 0,45 = %45.
2. 0,2̅ + 0,5̅ toplamını kesir olarak bulunuz. Orta
Çözüm0,2̅ = 2/9, 0,5̅ = 5/9. Toplam 7/9 = 0,7̅.
3. −3/5, −0,7 ve −2/3 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız. Orta
Çözüm−3/5 = −0,6, −2/3 ≈ −0,667, −0,7. Mutlak değeri en büyük olan en küçüktür: −0,7 < −2/3 < −3/5.
4. 0,12̅ devirli sayısını kesre çeviriniz. Zor
ÇözümDevretmeyen kısım 1 (bir basamak), devreden 2 (bir basamak). Pay: 12 − 1 = 11; payda: 90. 0,12̅ = 11/90.
Sık yapılan hatalar
- Basamak sayısı fazla olan ondalık sayıyı büyük sanmak (0,25 < 0,3).
- Negatif kesirlerde sıralamayı pozitiflerdeki gibi yapmak.
- 0,9̅’nin 1’den küçük olduğunu düşünmek.
- Devirli gösterimde çizgiyi tekrar etmeyen rakamın üstüne de çekmek.
Biliyor muydun?
1/7 = 0,142857142857… Bu altı rakamlık devir “büyülü” bir sayıdır: 142857 × 2 = 285714, × 3 = 428571… Hep aynı rakamlar, yalnızca sıraları dönüyor!