Olası durumlar, eşit şanslı olaylar, olasılık hesabı, kesin ve imkânsız olaylar, LGS tarzı olasılık problemleri.
Olası durumlar ve eşit şans
Bir olayın tüm olası durumlarını belirlemek olasılığın ilk adımıdır.
- Zar: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Para: {Yazı, Tura}
- 1’den 20’ye numaralı kartlar: 20 olası durum
Olası durumların gerçekleşme şansı eşitse bunlara eşit şanslı denir. Hileli bir zarda ya da eşit olmayan dilimli bir çarkta durumlar eşit şanslı değildir.
Olasılık hesabı
Eşit şanslı durumlarda:
P(A) = İstenen durum sayısı ÷ Tüm olası durum sayısı
Örnek: Torbada 5 kırmızı, 3 mavi, 4 sarı top var.
- P(mavi) = 3/12 = 1/4
- P(kırmızı değil) = 7/12
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- İmkânsız olay: P = 0 · Kesin olay: P = 1
- Bir olayın olma ve olmama olasılıkları toplamı 1’dir.
Olasılığı değiştirmek
LGS’de sık sorulan bir tür: Torbaya top ekleyip çıkararak olasılığı istenen değere getirmek.
Örnek: Torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top var. Kırmızı çekme olasılığının 1/2 olması için torbaya en az kaç kırmızı top eklenmeli?
- k kırmızı ekleyelim: (4 + k)/(10 + k) = 1/2 → 8 + 2k = 10 + k → k = 2
Kontrol: 6 kırmızı, 6 mavi → 6/12 = 1/2 ✓
Daha olası, daha az olası
İki olayın olasılıklarını kesirleri karşılaştırarak sıralarız.
Örnek: 1’den 30’a kadar numaralı kartlardan biri çekiliyor.
- A: asal sayı gelmesi → {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} → 10/30
- B: 4’ün katı gelmesi → {4, 8, …, 28} → 7/30
- C: tam kare gelmesi → {1, 4, 9, 16, 25} → 5/30
- En olası olay A, en az olası olay C’dir.
Kavramlar
- Olası durum
- Bir deneyde ortaya çıkabilecek her sonuç.
- Eşit şanslı
- Gerçekleşme olasılıkları eşit olan durumlar.
- Kesin olay
- Olasılığı 1 olan olay.
- İmkânsız olay
- Olasılığı 0 olan olay.
- Önce bütün olası durumları belirle
- P(A) = istenen ÷ tüm durumlar (eşit şanslıysa)
- 0 ≤ P ≤ 1
- P(olması) + P(olmaması) = 1
- Top ekleme sorularında denklem kur
- Olasılıkları kesirleri karşılaştırarak sırala
Örnek soru ve çözümü
Bir sınıfta 14 kız ve 16 erkek öğrenci var. Rastgele seçilen öğrencinin kız olma olasılığı kaçtır?
14/30 = 7/15.
Çözümlü örnekler
1. Bir zar atıldığında 3’ün katı gelme olasılığı kaçtır? Kolay
Çözüm{3, 6} → 2/6 = 1/3.
2. Torbada 3 beyaz ve bir miktar siyah top var. Beyaz çekme olasılığı 1/5 ise kaç siyah top vardır? Orta
Çözüm3/t = 1/5 → t = 15. Siyah: 12.
3. Torbada 6 kırmızı ve 9 yeşil top var. Torbadan kaç yeşil top çıkarılırsa kırmızı top çekme olasılığı 3/5 olur? Zor
Çözüm6/(15 − y) = 3/5 → 30 = 45 − 3y → y = 5 yeşil top çıkarılmalı.
Sık yapılan hatalar
- Eşit şanslı olmayan durumlarda (eşitsiz çark) basit formülü kullanmak.
- Top ekleyince tüm durum sayısını güncellemeyi unutmak.
- 1’i asal saymak.
Biliyor muydun?
Bir futbol maçında kura atışı yapan hakem, madeni paranın yazı-tura olasılığının eşit olduğuna güvenir. Ama bazı araştırmalar, havaya atılan paranın atıldığı yüzü biraz daha sık getirdiğini (%51 civarı) gösteriyor!