Cebirsel ifadelerle çarpma, özdeşlikler (iki terim toplamının ve farkının karesi, iki kare farkı), modellerle özdeşlik ve çarpanlara ayırma.
Cebirsel ifadelerle çarpma
- Terim ile ifade: 3x(2x − 5) = 6x² − 15x
- İki terimli ile iki terimli: (x + 3)(x − 2) = x² − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6
Her terim, diğer ifadenin her terimiyle çarpılır.
Alan modeli: Kenarları (x + 3) ve (x + 2) olan dikdörtgenin alanı, dört parçanın toplamıdır: x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6.
Özdeşlikler
Değişkenin her değeri için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.
| Özdeşlik | Açılım |
|---|---|
| İki terim toplamının karesi | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| İki terim farkının karesi | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| İki kare farkı | a² − b² = (a − b)(a + b) |
- (x + 4)² = x² + 8x + 16
- (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9
- x² − 25 = (x − 5)(x + 5)
⚠️ (a + b)² ≠ a² + b²! Ortadaki 2ab terimini unutmak en sık yapılan hatadır. (3 + 4)² = 49 ama 3² + 4² = 25.
Zihinden hesapta özdeşlik
- 101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201
- 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801
- 52 · 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 2500 − 4 = 2 496
- 75² − 25² = (75 − 25)(75 + 25) = 50 · 100 = 5 000
Çarpanlara ayırma
Bir cebirsel ifadeyi çarpımlar biçiminde yazmaya çarpanlara ayırma denir.
- Ortak çarpan parantezine alma: 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
- İki kare farkı: 9x² − 16 = (3x − 4)(3x + 4)
- Tam kare: x² + 10x + 25 = (x + 5)²
LGS tarzı: Alanı x² − 49 olan dikdörtgenin kenarlarından biri (x + 7) ise diğeri (x − 7)’dir.
Kavramlar
- Özdeşlik
- Değişkenin her değeri için doğru olan eşitlik.
- Çarpanlara ayırma
- Bir ifadeyi çarpımlar biçiminde yazma.
- Ortak çarpan
- Bütün terimlerde bulunan çarpan.
- Tam kare ifade
- (a ± b)² biçiminde yazılabilen ifade.
- Her terim diğer ifadenin her terimiyle çarpılır
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a − b)(a + b)
- (a + b)² ≠ a² + b²
- Çarpanlara ayırma: ortak çarpan, iki kare farkı, tam kare
Örnek soru ve çözümü
(x − 6)² − (x + 6)² ifadesini sadeleştiriniz.
(x² − 12x + 36) − (x² + 12x + 36) = −24x.
Çözümlü örnekler
1. (x + 7)(x − 7) çarpımını yazınız. Kolay
Çözümx² − 49.
2. 4x² − 12x + 9 ifadesini çarpanlarına ayırınız. Orta
Çözüm(2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = (2x − 3)².
3. a + b = 9 ve ab = 14 ise a² + b² kaçtır? Zor
Çözüm(a + b)² = a² + 2ab + b² → 81 = a² + b² + 28 → a² + b² = 53.
Sık yapılan hatalar
- (a + b)² = a² + b² yazmak.
- (a − b)²’de son terimi negatif yazmak (+b² olmalı).
- Ortak çarpana alırken bir terimi dışarıda bırakmak.
Biliyor muydun?
Özdeşlikler 4000 yıl önce Babilliler tarafından kare tarlaların alanlarını hesaplarken geometrik olarak biliniyordu; yani cebirden önce geometri vardı!