Eşitsizlik sembolleri, sayı doğrusunda gösterim, eşitsizlik çözme (negatifle çarpmada yön değişimi) ve problemler.
Eşitsizlik ve sayı doğrusu
<, >, ≤, ≥ sembolleriyle kurulan ve bir bilinmeyen içeren ifadelere eşitsizlik denir.
- x > 3 → 3’ten büyük bütün sayılar (3 dahil değil)
- x ≤ −1 → −1 ve −1’den küçük bütün sayılar
Sayı doğrusunda: < ve > için içi boş daire, ≤ ve ≥ için içi dolu daire çizilir; ok çözümlerin yönünü gösterir.
İki yönlü eşitsizlik: −2 < x ≤ 5 → −2 ile 5 arası (−2 dahil değil, 5 dahil).
Eşitsizlik çözme
Eşitsizlikler denklemler gibi çözülür; tek bir fark vardır:
Her iki taraf negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.
- 3x − 4 < 11 → 3x < 15 → x < 5
- −2x + 6 ≥ 14 → −2x ≥ 8 → x ≤ −4 (−2’ye böldük, yön döndü!)
Neden yön değişir? 2 < 5 doğrudur; iki tarafı −1 ile çarparsak −2 ve −5 elde ederiz ve −2 > −5 olur.
Problem çözme
Örnek: Bir öğrencinin 3 sınavdan aldığı notlar 65, 72 ve 80’dir. Ortalamasının en az 75 olması için 4. sınavdan en az kaç alması gerekir?
- (65 + 72 + 80 + x)/4 ≥ 75 → 217 + x ≥ 300 → x ≥ 83
Örnek: Bir otoparkın ilk saat ücreti 50 TL, sonraki her saat 30 TL. 200 TL’yi aşmamak için araç en fazla kaç saat kalabilir?
- 50 + 30(s − 1) ≤ 200 → 30(s − 1) ≤ 150 → s − 1 ≤ 5 → s ≤ 6
💡 Gerçek hayatta çözüm kümesini anlamlı değerlerle sınırla: Saat, kişi, adet gibi çokluklar tam sayıdır ve negatif olamaz.
Kavramlar
- Eşitsizlik
- <, >, ≤ ya da ≥ ile kurulan matematiksel cümle.
- Çözüm kümesi
- Eşitsizliği sağlayan bütün değerler.
- İki yönlü eşitsizlik
- Bir değişkenin iki sınır arasında olduğunu gösteren eşitsizlik.
- <, > içi boş · ≤, ≥ içi dolu daire
- Negatifle çarpma/bölmede yön değişir
- “En az” → ≥ · “en fazla”, “aşmamak” → ≤
- İki yönlü eşitsizlik: a < x < b
- Çözümü gerçek hayat koşullarıyla sınırla
- Kontrol: çözüm kümesinden bir sayı dene
Örnek soru ve çözümü
5 − 3x > 2x − 15 eşitsizliğini çözünüz.
5 + 15 > 2x + 3x → 20 > 5x → x < 4.
Çözümlü örnekler
1. x + 7 ≥ 3 eşitsizliğini çözünüz. Kolay
Çözümx ≥ −4.
2. −3 < 2x + 1 ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan tam sayıları bulunuz. Orta
Çözüm−4 < 2x ≤ 8 → −2 < x ≤ 4 → x ∈ {−1, 0, 1, 2, 3, 4}.
3. Bir asansör en fazla 640 kg taşıyabiliyor. Asansörde 75 kg’lık bir görevli ve her biri 45 kg’lık kolilerden var. En fazla kaç koli taşınabilir? Zor
Çözüm75 + 45k ≤ 640 → 45k ≤ 565 → k ≤ 12,5… → en fazla 12 koli.
Sık yapılan hatalar
- Negatifle bölünce yönü değiştirmemek.
- Sayı doğrusunda dolu/boş daireyi karıştırmak.
- “Aşmamak” ifadesini < yazmak (≤ olmalı).
Biliyor muydun?
Kalabalık yerlerdeki “maksimum kapasite” levhaları birer eşitsizliktir: kişi sayısı ≤ kapasite.