Doğrusal ilişkinin tablo, denklem ve grafikle gösterimi; eksenleri kesme noktaları; eğim ve gerçek hayat yorumları.
Doğrusal ilişki
İki değişken arasındaki ilişki y = mx + n biçiminde yazılabiliyorsa bu ilişki doğrusaldır; grafiği bir doğrudur.
Örnek: Bir taksinin açılış ücreti 40 TL, kilometre başına ücreti 20 TL. Ücret (y) ile km (x) arasındaki ilişki: y = 20x + 40
| x (km) | 0 | 1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| y (TL) | 40 | 60 | 80 | 140 |
Tablodaki her bir km artışında ücret sabit 20 TL artıyor; sabit artış doğrusal ilişkinin işaretidir.
Grafik çizme ve eksenleri kesme
Bir doğruyu çizmek için iki nokta yeter. En kolayı eksenleri kestiği noktalardır:
y = 2x − 6
- x = 0 → y = −6 → y eksenini (0, −6)’da keser.
- y = 0 → 2x = 6 → x = 3 → x eksenini (3, 0)’da keser.
Özel doğrular:
- y = 4 → x eksenine paralel (yatay) doğru
- x = −2 → y eksenine paralel (dikey) doğru
- y = x → orijinden geçen, açıortay doğrusu
Eğim
Bir doğrunun dikliğini gösteren sayıya eğim denir:
Eğim = dikey değişim ÷ yatay değişim
İki noktası bilinen doğru: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) → m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- (1, 2) ve (4, 11) → m = (11 − 2)/(4 − 1) = 9/3 = 3
- y = mx + n denkleminde x’in katsayısı (m) eğimdir.
| Doğru | Eğim |
|---|---|
| Sağa doğru yükselen | Pozitif |
| Sağa doğru alçalan | Negatif |
| Yatay (x eksenine paralel) | 0 |
| Dikey (y eksenine paralel) | Tanımsız |
Eğimin gerçek hayattaki anlamı
- Yol eğimi: Bir rampa 100 m yatayda 8 m yükseliyorsa eğimi 8/100 = %8’dir.
- Taksi ücreti: y = 20x + 40’ta eğim 20 → kilometre başına ücret.
- Su deposu: Her dakika 15 L boşalan depo için grafik negatif eğimli (−15).
💡 Doğrusal bir grafikte eğim, birim başına değişimi anlatır. n ise başlangıç değeridir (x = 0 iken y).
Kavramlar
- Doğrusal ilişki
- Grafiği doğru olan ve y = mx + n biçiminde yazılabilen ilişki.
- Eğim
- Bir doğrunun dikliği; dikey değişimin yatay değişime oranı.
- Bağımsız değişken
- Değeri serbestçe seçilen değişken (x).
- Bağımlı değişken
- Değeri bağımsız değişkene göre değişen değişken (y).
- Doğrusal ilişki: y = mx + n
- Sabit artış doğrusal ilişkinin işaretidir
- x = 0 → y eksenini kestiği nokta
- Eğim = dikey değişim ÷ yatay değişim
- Yatay doğrunun eğimi 0, dikeyin tanımsız
- m: birim başına değişim · n: başlangıç değeri
Örnek soru ve çözümü
y = −3x + 9 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları ve eğimini bulunuz.
x = 0 → y = 9: (0, 9). y = 0 → 3x = 9 → x = 3: (3, 0). Eğim: −3.
Çözümlü örnekler
1. (2, 5) ve (6, 13) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır? Kolay
Çözüm(13 − 5)/(6 − 2) = 8/4 = 2.
2. Bir mumun boyu başlangıçta 24 cm ve her saat 3 cm kısalıyor. Boy (y) ile saat (x) arasındaki ilişkiyi yazınız. Mum kaç saatte biter? Orta
Çözümy = −3x + 24. y = 0 → x = 8 saat.
3. Bir yürüyüş yolunun 400 m’lik yatay mesafesinde yükseklik 30 m artıyor. Yolun eğimi yüzde kaçtır? Zor
Çözüm30/400 = 0,075 = %7,5.
Sık yapılan hatalar
- Eğimi yatay ÷ dikey olarak hesaplamak.
- İki nokta arasında y’leri ve x’leri farklı sırayla çıkarmak.
- Dikey doğrunun eğimini 0 sanmak (tanımsızdır).
Biliyor muydun?
Türkiye’deki karayollarında %8’den dik yokuşlar için uyarı levhası konur. Dünyanın en dik caddesi Yeni Zelanda’daki Baldwin Caddesi’dir; eğimi yaklaşık %35!