Kenarortay, açıortay ve yükseklik; üçgen eşitsizliği; kenar-açı ilişkisi; yeterli elemanlarla üçgen çizme; Pisagor bağıntısı.
Yardımcı elemanlar
- Kenarortay: Köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştirir.
- Açıortay: Köşedeki açıyı iki eş açıya böler.
- Yükseklik: Köşeden karşı kenara (ya da uzantısına) dik iner.
Her üçgende üçer kenarortay, açıortay ve yükseklik vardır. Eşkenar üçgende aynı köşeden çizilen üç eleman çakışır.
Üçgen eşitsizliği
Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür:
|b − c| < a < b + c
- Kenarları 4 ve 9 olan üçgenin üçüncü kenarı: 5 < a < 13 → tam sayı değerleri 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (7 tane)
- 3, 4 ve 8 cm ile üçgen çizilemez: 3 + 4 = 7 < 8.
Kenar–açı ilişkisi: Bir üçgende büyük kenarın karşısında büyük açı, küçük kenarın karşısında küçük açı bulunur.
Pisagor bağıntısı
Dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir:
a² + b² = c² (c: dik açının karşısındaki en uzun kenar, hipotenüs)
- Dik kenarlar 6 ve 8 → c² = 36 + 64 = 100 → c = 10
- Hipotenüs 13, bir dik kenar 5 → b² = 169 − 25 = 144 → b = 12
Pisagor üçlüleri: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) ve katları (6, 8, 10), (9, 12, 15)…
💡 Kenarları a, b, c olan bir üçgende a² + b² = c² sağlanıyorsa üçgen dik üçgendir (Pisagor’un tersi).
Gerçek hayatta Pisagor
Merdiven: 10 m’lik bir merdiven duvara dayanmış, alt ucu duvardan 6 m uzakta. Üst ucu yerden: √(100 − 36) = 8 m yükseklikte.
Ekran boyutu: Bir televizyonun “inç” ölçüsü köşegenidir. Eni 48, boyu 36 birim olan ekranın köşegeni √(48² + 36²) = 60 birimdir.
Kısa yol: Dikdörtgen bir parkın kenarları 40 m ve 30 m. Köşeden köşeye çapraz yürüyen biri 40 + 30 = 70 m yerine 50 m yürür.
Kavramlar
- Hipotenüs
- Dik üçgende dik açının karşısındaki en uzun kenar.
- Üçgen eşitsizliği
- Bir kenarın diğer ikisinin toplamından küçük, farkından büyük olması.
- Pisagor üçlüsü
- a² + b² = c² sağlayan pozitif tam sayılar.
- Kenarortay
- Köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçası.
- Kenarortay: karşı kenarın orta noktası
- Açıortay: açıyı ikiye böler
- Yükseklik: karşı kenara dik
- |b − c| < a < b + c
- Büyük kenar karşısında büyük açı
- Dik üçgende a² + b² = c²
Örnek soru ve çözümü
Bir dik üçgenin dik kenarları 9 cm ve 12 cm’dir. Hipotenüsü ve çevresi kaç cm’dir?
c² = 81 + 144 = 225 → c = 15. Çevre: 9 + 12 + 15 = 36 cm.
Çözümlü örnekler
1. 5, 12 ve 13 cm kenarlı üçgen dik üçgen midir? Kolay
Çözüm5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² → evet, dik üçgendir.
2. Kenarları 7 ve 10 olan üçgenin üçüncü kenarı tam sayı ise kaç farklı değer alabilir? Orta
Çözüm3 < a < 17 → 4, 5, …, 16 → 13 değer.
3. Bir kenarı 12 cm olan karenin köşegeni kaç cm’dir? Zor
Çözümd² = 12² + 12² = 288 → d = √288 = 12√2 cm.
Sık yapılan hatalar
- Pisagor’u dik olmayan üçgenlere uygulamak.
- Hipotenüsü dik kenarlardan biri sanmak.
- Üçgen eşitsizliğinde sınır değerleri dahil etmek.
- c² bulunca karekök almayı unutmak.
Biliyor muydun?
Eski Mısırlılar, 12 eşit aralıkla düğümlenmiş bir ipi 3-4-5 üçgeni şeklinde gererek piramitlerin köşelerinde tam dik açı elde ediyordu!