Eş ve benzer şekiller, benzerlik oranı, benzer şekillerde kenar, açı ve çevre ilişkileri; gerçek hayat uygulamaları.
Eş şekiller
Biçimleri ve boyutları aynı olan, üst üste konulduğunda tam çakışan şekillere eş şekiller denir ve ≅ ile gösterilir.
- Eş şekillerde karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri eşittir.
- Fotokopi makinesinden %100 boyutta çıkan kâğıt, aslıyla eştir.
Benzer şekiller
Biçimleri aynı, boyutları farklı olabilen şekillere benzer şekiller denir ve ~ ile gösterilir.
Benzer şekillerde:
- Karşılıklı açılar eşittir.
- Karşılıklı kenarların oranı sabittir. Bu orana benzerlik oranı (k) denir.
Örnek: ABC ~ DEF ve |AB| = 4, |DE| = 12 ise k = 4/12 = 1/3. |BC| = 5 ise |EF| = 15.
💡 Her kare birbirine benzerdir, her eşkenar üçgen birbirine benzerdir. Ama her dikdörtgen birbirine benzer değildir!
Benzerlikte çevre (ve alan)
Benzerlik oranı k ise:
- Çevreler oranı da k’dir.
- Alanlar oranı k²’dir (ilerleyen sınıflarda ayrıntılı işlenir).
Örnek: Kenarları 2 kat büyütülen bir karenin çevresi 2 kat, alanı 4 kat olur.
⚠️ Benzer şekillerde kenarlar k katına çıktığında alan k katına değil, k² katına çıkar.
Gerçek hayatta benzerlik
- Harita ve maket: 1 : 100 ölçekli maket, gerçek binaya benzerdir.
- Gölge yöntemi: Aynı anda 1,6 m boyundaki bir öğrencinin gölgesi 2 m, bir ağacın gölgesi 15 m ise ağacın boyu: 1,6/2 = h/15 → h = 12 m.
- Fotoğraf büyütme: 10 × 15 cm’lik fotoğraf 20 × 30 cm’ye büyütülürse benzer kalır; 20 × 20’ye büyütülürse bozulur.
Kavramlar
- Eş şekiller
- Biçimleri ve boyutları aynı olan şekiller.
- Benzer şekiller
- Biçimleri aynı, kenarları orantılı olan şekiller.
- Benzerlik oranı
- Benzer şekillerde karşılıklı kenarların oranı.
- Eş şekiller: aynı biçim, aynı boyut (≅)
- Benzer şekiller: aynı biçim, farklı boyut olabilir (~)
- Benzer şekillerde açılar eşit
- Karşılıklı kenarların oranı = benzerlik oranı k
- Çevreler oranı k, alanlar oranı k²
- Her kare ve eşkenar üçgen birbirine benzerdir
Örnek soru ve çözümü
ABC ~ KLM, |AB| = 6, |BC| = 8, |KL| = 9 ise |LM| kaçtır?
k = 6/9 = 2/3. |BC|/|LM| = 2/3 → 8/|LM| = 2/3 → |LM| = 12.
Çözümlü örnekler
1. Kenarları 3, 4, 5 ve 6, 8, 10 olan üçgenler benzer midir? Kolay
ÇözümOranlar 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2 → benzerdir.
2. Benzerlik oranı 3/5 olan iki üçgenden küçüğünün çevresi 24 cm ise büyüğünün çevresi kaç cm’dir? Orta
ÇözümÇevreler oranı 3/5 → 24/Ç = 3/5 → Ç = 40 cm.
3. Boyu 1,5 m olan bir çocuğun gölgesi 2 m iken, aynı anda bir direğin gölgesi 12 m’dir. Direğin boyu kaç metredir? Zor
Çözüm1,5/2 = h/12 → h = 9 m.
Sık yapılan hatalar
- Benzer şekillerde alanın da k katına çıktığını sanmak.
- Karşılık gelmeyen kenarları oranlamak.
- Her dikdörtgenin birbirine benzer olduğunu düşünmek.
Biliyor muydun?
Antik Yunan matematikçisi Thales, piramidin gölgesini kendi gölgesiyle karşılaştırarak Keops Piramidi’nin yüksekliğini benzerlikle ölçtü!