Tam kare sayılar, karekök, kökün yaklaşık değeri, a√b biçimi, kareköklü ifadelerle işlemler, ondalık sayıların karekökü ve gerçek sayılar.
Tam kare ve karekök
Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı denir: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, …
Karesi a olan negatif olmayan sayıya a’nın karekökü denir ve √a ile gösterilir:
- √49 = 7 (çünkü 7² = 49)
- √0 = 0
- √(−9) gerçek sayılarda tanımsızdır.
⚠️ √49 = 7’dir, −7 değil. Karekök sembolü her zaman negatif olmayan sonucu verir. (Ama x² = 49 denkleminin iki çözümü vardır: 7 ve −7.)
Kökün yaklaşık değeri
Tam kare olmayan bir sayının karekökü, iki ardışık tam sayı arasındadır.
√50: 49 < 50 < 64 → 7 < √50 < 8. 50, 49’a çok yakın olduğu için √50 7’ye yakındır (≈ 7,07).
√70: 64 < 70 < 81 → 8 < √70 < 9; 70, 64 ile 81’in ortasından 64’e yakın → ≈ 8,4
a√b biçimi
Kök içindeki sayının tam kare çarpanı dışarı çıkarılabilir:
√72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2
√75 = √(25 · 3) = 5√3
Tersine, kök dışındaki sayı içeri karesi alınarak girer:
3√5 = √(9 · 5) = √45
💡 Karşılaştırma için bu çok kullanışlıdır: 4√3 ile 3√5’i karşılaştırmak için içeri al: √48 > √45 → 4√3 > 3√5.
Kareköklü ifadelerle işlemler
Çarpma ve bölme: √a · √b = √(a · b) · √a ÷ √b = √(a ÷ b)
- √2 · √18 = √36 = 6 · √50 ÷ √2 = √25 = 5
Toplama ve çıkarma: Yalnızca kök içleri aynı terimler toplanır.
- 3√5 + 4√5 = 7√5
- √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3 (önce sadeleştir!)
- √2 + √3 ≠ √5 ⚠️
Ondalık sayıların karekökü: √0,49 = √(49/100) = 0,7 · √1,44 = 1,2
Gerçek sayılar: Kesir olarak yazılabilen sayılar rasyonel (√16 = 4, 0,5), yazılamayanlar irrasyoneldir (√2, √3, π). Rasyonel ve irrasyonel sayıların hepsine gerçek sayılar denir.
Kavramlar
- Tam kare sayı
- Bir tam sayının karesi olan sayı: 1, 4, 9, 16…
- Karekök
- Karesi verilen sayı olan negatif olmayan sayı.
- İrrasyonel sayı
- İki tam sayının bölümü olarak yazılamayan sayı: √2, π.
- Gerçek sayı
- Rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamı.
- √a ≥ 0; √(negatif) tanımsız
- Tam kare olmayanın kökü iki ardışık tam sayı arasında
- √72 = 6√2 (tam kare çarpanı dışarı)
- √a · √b = √(ab)
- Yalnızca kök içleri aynı olanlar toplanır
- √2, √3, π irrasyoneldir
Örnek soru ve çözümü
√48 + √75 − √27 işleminin sonucunu bulunuz.
√48 = 4√3, √75 = 5√3, √27 = 3√3. Sonuç: (4 + 5 − 3)√3 = 6√3.
Çözümlü örnekler
1. √200 sayısını a√b biçiminde yazınız. Kolay
Çözüm√(100 · 2) = 10√2.
2. √52 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? Hangisine daha yakındır? Orta
Çözüm49 < 52 < 64 → 7 ile 8 arasında; 52, 49’a daha yakın olduğundan 7’ye yakındır.
3. Alanı 98 cm² olan karenin bir kenarı ile alanı 50 cm² olan karenin bir kenarının toplamı kaç cm’dir? Zor
Çözüm√98 = 7√2, √50 = 5√2. Toplam 12√2 cm.
Sık yapılan hatalar
- √2 + √3 = √5 yazmak.
- √49’un sonucunu ±7 yazmak.
- Toplamadan önce kökleri sadeleştirmemek (√12 + √27).
- √0,9 = 0,3 sanmak (0,3² = 0,09).
Biliyor muydun?
√2’nin irrasyonel olduğunu kanıtlayan Pisagorcu Hippasus’un, bu “rahatsız edici” buluş yüzünden denize atıldığı efsanesi anlatılır!