Deney, çıktı, örneklem uzayı ve olay; deneysel olasılık (göreli sıklık) ve büyük sayılar yasası; teorik olasılık; olasılık değerinin 0–1 aralığı; tümleyen olay; ayrık olaylar ve birleşim; ağaç diyagramı ve tablo ile örneklem uzayı; simülasyon.
Temel kavramlar
- Deney: sonucu önceden kesin bilinmeyen işlem (zar atma)
- Çıktı: deneyin her bir sonucu (3 gelmesi)
- Örneklem uzayı (Ö): tüm çıktıların kümesi → Ö = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Olay (A): örneklem uzayının bir alt kümesi → “çift gelmesi” A = {2, 4, 6}
İki zar atılması: s(Ö) = 6 · 6 = 36
İki para atılması: Ö = {YY, YT, TY, TT} → 4 çıktı (YT ve TY farklıdır!)
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Deneysel olasılık
Deneysel olasılık = olayın gerçekleşme sayısı / deneme sayısı (göreli sıklık)
Örnek: Bir raptiye 200 kez atılıyor; 124 kez sivri ucu yukarı geliyor.
→ P(uç yukarı) ≈ 124 / 200 = 0,62
Büyük sayılar yasası: Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır.
- 10 para atışında 7 yazı (0,7) olabilir
- 10 000 atışta yazı oranı 0,5’e çok yakın çıkar.
Raptiye gibi simetrik olmayan nesnelerde teorik olasılık hesaplanamaz; deneyle tahmin edilir.
Teorik olasılık
Çıktıların eşit olasılıklı olduğu durumlarda:
P(A) = s(A) / s(Ö)
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 · P(imkânsız olay) = 0 · P(kesin olay) = 1
- Tümleyen: P(A′) = 1 − P(A)
- Ayrık olaylar (aynı anda olamayan): P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- Ayrık değilse: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Örnek (iki zar): Toplamın 7 olma olasılığı → (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6/36 = 1/6
Toplamın 7 olmama olasılığı → 1 − 1/6 = 5/6
Örnek (torba): 4 kırmızı, 5 mavi, 3 yeşil top → P(mavi) = 5/12, P(mavi veya yeşil) = 8/12 = 2/3
Simülasyon
Gerçek deneyi yapmak zor olduğunda simülasyon (benzetim) kullanılır.
Örnek: Bir basketbolcunun serbest atış başarısı %70. 3 atıştan en az 2’sini atma olasılığını tahmin etmek için:
- 0–9 arası rastgele sayılar üret; 0–6 = basket, 7–9 = kaçırma
- Her deneme için 3 sayı üret; en az 2’si 0–6 ise “başarılı” say
- 100 deneme yap, başarılı oranını hesapla (teorik değer ≈ 0,784)
💡 Bilgisayarlar milyonlarca simülasyonu saniyeler içinde yapabilir; hava tahmini, trafik ve oyun tasarımında bu yöntem kullanılır.
Kavramlar
- örneklem uzayı
- tüm olası çıktılar
- olay
- örneklem uzayının alt kümesi
- göreli sıklık
- gözlenen oran
- ayrık olay
- aynı anda gerçekleşemeyen olaylar
- simülasyon
- deneyin modelle taklit edilmesi
- Örneklem uzayı: tüm çıktılar; olay: alt küme
- Deneysel olasılık = gerçekleşme / deneme
- Deneme arttıkça deneysel → teorik (büyük sayılar yasası)
- P(A) = s(A)/s(Ö), 0 ≤ P ≤ 1
- P(A′) = 1 − P(A)
- Ayrık olaylarda P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Örnek soru ve çözümü
Tabloya göre iki zar atıldığında toplamın 10 veya daha büyük olma olasılığı kaçtır?
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Toplam 10: 3, toplam 11: 2, toplam 12: 1 çıktı → 6/36 = 1/6.
Çözümlü örnekler
1. Bir zar atıldığında asal sayı gelme olasılığı kaçtır? Kolay
Çözüm{2, 3, 5} → 3/6 = 1/2.
2. Üç para atıldığında en az bir tura gelme olasılığı kaçtır? Orta
ÇözümHiç tura gelmemesi (YYY) 1/8 → 1 − 1/8 = 7/8.
3. 1’den 30’a kadar numaralı kartlardan biri çekiliyor. Kartın 3’ün veya 5’in katı olma olasılığı kaçtır? Zor
Çözüm3’ün katı 10, 5’in katı 6, 15’in katı 2 → (10 + 6 − 2)/30 = 14/30 = 7/15.
Sık yapılan hatalar
- İki para atışında YT ile TY’yi tek çıktı saymak.
- Az sayıda denemeden elde edilen deneysel olasılığı kesin sanmak.
- Ayrık olmayan olaylarda kesişimi çıkarmayı unutmak.
Biliyor muydun?
Kumarbaz yanılgısı: Arka arkaya 5 kez yazı gelince “Şimdi kesin tura gelir!” diye düşünmek yanlıştır. Paranın hafızası yoktur; her atışta olasılık yine 1/2’dir!