Fonksiyon kavramı; tanım, değer ve görüntü kümesi; f(x) = ax + b doğrusal fonksiyonu; eğim (değişim oranı) ve y-kesişimi; artan, azalan ve sabit fonksiyonlar; tablo, grafik ve cebirsel temsiller arası geçiş; gerçek hayat modelleri.
Fonksiyon kavramı
A’dan B’ye bir fonksiyon, A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşleyen kuraldır: f : A → B
- A: tanım kümesi · B: değer kümesi · f(A): görüntü kümesi (f(A) ⊂ B)
- Düşey doğru testi: Bir grafikte her düşey doğru grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyon belirtir.
Örnek: f(x) = 2x − 1, A = {0, 1, 2, 3} → f(A) = {−1, 1, 3, 5}
Doğrusal fonksiyon, eğim ve kesişim
f(x) = ax + b (a, b ∈ ℝ) biçimindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir; grafiği bir doğrudur.
- a = eğim (değişim oranı): x 1 arttığında y’nin ne kadar değiştiği
a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
- b = y eksenini kestiği nokta: (0, b)
- x eksenini kestiği nokta: ax + b = 0 → x = −b/a
| a’nın işareti | Fonksiyon |
|---|---|
| a > 0 | artan (grafik sağa doğru yükselir) |
| a < 0 | azalan |
| a = 0 | sabit fonksiyon f(x) = b (yatay doğru) |
Örnek: f(x) = 2x + 1 → eğim 2, y-kesişimi (0, 1), x-kesişimi (−1/2, 0); artandır.
İki noktadan fonksiyon yazma ve temsiller
(1, 5) ve (3, 9) noktalarından geçen doğrusal fonksiyon:
- a = (9 − 5) / (3 − 1) = 2
- f(x) = 2x + b → 5 = 2 · 1 + b → b = 3 → f(x) = 2x + 3
Tablo → Fonksiyon:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| y | 4 | 7 | 10 | 13 |
y her adımda 3 artıyor → a = 3; x = 0’da y = 4 → y = 3x + 4
💡 Bir tabloda x eşit adımlarla artarken y de eşit miktarda değişiyorsa ilişki doğrusaldır.
Gerçek hayat modelleri
Taksi ücreti: Açılış 40 TL, kilometre başına 25 TL → Ü(x) = 25x + 40
- 12 km → 25 · 12 + 40 = 340 TL
- 590 TL ödeyen kişi → 25x + 40 = 590 → x = 22 km
- Eğim (25) = km başına ücret; y-kesişimi (40) = sabit açılış ücreti
Su deposu: 600 L su bulunan depodan dakikada 15 L su boşalıyor → V(t) = 600 − 15t
- Azalan fonksiyon (eğim −15)
- Depo t = 600/15 = 40 dakikada boşalır. Tanım kümesi: [0, 40]
Kavramlar
- tanım kümesi
- fonksiyonun girdi kümesi
- görüntü kümesi
- çıktıların kümesi
- eğim
- değişim oranı
- sabit fonksiyon
- f(x) = b
- doğrusal
- grafiği doğru olan
- Fonksiyon: tanım kümesindeki her eleman yalnız bir görüntüye gider
- f(x) = ax + b: a eğim, b y-kesişimi
- a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
- a > 0 artan, a < 0 azalan, a = 0 sabit
- x-kesişimi: x = −b/a
- Gerçek hayatta eğim = birim başına değişim
Örnek soru ve çözümü
Bir mobil hat tarifesinde aylık sabit ücret 120 TL ve her GB internet 30 TL’dir. Ücreti GB’ye bağlı fonksiyonla yazınız; 7 GB kullanan kişi kaç TL öder?
Ü(x) = 30x + 120; Ü(7) = 210 + 120 = 330 TL.
Çözümlü örnekler
1. f(x) = −3x + 6 fonksiyonunun eğimi ve y-kesişimi nedir? Kolay
ÇözümEğim −3, y-kesişimi (0, 6).
2. (−1, 4) ve (2, −5) noktalarından geçen doğrusal fonksiyonu yazınız. Orta
Çözüma = (−5 − 4)/(2 + 1) = −3; 4 = 3 + b → b = 1; f(x) = −3x + 1.
3. Grafikteki f ve g fonksiyonlarının kesişim noktasını bulunuz. Zor
2x + 1 = −x + 3 → x = 2/3, y = 7/3. Kesişim (2/3, 7/3).
Sık yapılan hatalar
- Eğimi (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁) diye ters hesaplamak.
- f(x) = 5 grafiğini dikey doğru sanmak (yataydır).
- Gerçek hayat modelinde tanım kümesini (negatif zaman vb.) düşünmemek.
Biliyor muydun?
Kara yollarındaki “%8 eğim” levhası, 100 m yatay yolda 8 m yükseldiğiniz anlamına gelir; yani doğrunun eğimi 0,08’dir!