Mutlak Değer, Mutlak Değer Fonksiyonu ve Denklemler konu anlatımı

Bir sayının mutlak değeri, sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır:

|x| = x (x ≥ 0) ve |x| = −x (x < 0)

Özellikler:

• |x| ≥ 0 · |−x| = |x| · |x · y| = |x| · |y| · |x/y| = |x|/|y|
• |a − b| = a ile b arasındaki uzaklık → |3 − (−4)| = 7
• |x + y| ≤ |x| + |y| (üçgen eşitsizliği)

İşaret incelemesi: x < 2 ise |x − 2| = 2 − x; |2 − √5| = √5 − 2 (çünkü √5 > 2)

f(x) = a|x − h| + k

• Grafik V şeklindedir; tepe noktası T(h, k)
• x = h doğrusuna göre simetriktir.
• a > 0 ise kollar yukarı (en küçük değer k), a < 0 ise aşağı (en büyük değer k)
• |a| büyüdükçe V daralır.

Örnek: f(x) = |x − 2| − 3

• Tepe noktası (2, −3), en küçük değer −3
• (−∞, 2] aralığında azalan, [2, ∞) aralığında artan
• x-kesişimleri: |x − 2| = 3 → x = 5 veya x = −1

|x − a| = b (b ≥ 0) → x − a = b veya x − a = −b

• b < 0 ise çözüm yoktur (mutlak değer negatif olamaz).

Örnekler:

• |2x − 1| = 7 → 2x − 1 = 7 veya 2x − 1 = −7 → x = 4 veya x = −3 → Ç = {−3, 4}
• |x + 5| = −2 → Ç = ∅
• |x − 1| = |x + 3| → x − 1 = −(x + 3) → x = −1 (1 ile −3’ün orta noktası)

• |x − a| < b ⇔ a − b < x < a + b (a’ya uzaklığı b’den az olanlar → bir aralık)
• |x − a| > b ⇔ x < a − b veya x > a + b (iki ışın)

Örnek: |x − 3| ≤ 2 → 1 ≤ x ≤ 5 → [1, 5]

Tolerans: Bir fabrikada üretilen vidaların uzunluğu 40 mm olmalı, en fazla 0,5 mm sapma kabul ediliyor.

→ |u − 40| ≤ 0,5 → 39,5 ≤ u ≤ 40,5

39,4 mm’lik vida reddedilir.