Tam sayı üsler ve üs kuralları; bilimsel gösterim; n. dereceden kök; köklü ifadelerin sadeleştirilmesi, dört işlem ve eşlenik; rasyonel üs ile köklü gösterim arasındaki geçiş.
Üslü ifadeler ve kurallar
a gerçek sayı, n pozitif tam sayı olmak üzere aⁿ = a · a · … · a (n tane).
| Kural | Örnek |
|---|---|
| a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 3² · 3⁴ = 3⁶ |
| aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁷ / 5⁵ = 5² |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (2³)² = 2⁶ |
| (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | 6³ = 2³ · 3³ |
| (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ | (2/3)⁻² = 9/4 |
İşaret: Negatif sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8.
⚠️ −2⁴ = −16 (üs yalnızca 2’ye etki eder), (−2)⁴ = 16.
Bilimsel gösterim
Bir sayının a × 10ⁿ (1 ≤ |a| < 10, n tam sayı) biçiminde yazılmasıdır.
- Dünya–Güneş uzaklığı ≈ 150 000 000 km = 1,5 × 10⁸ km
- Bir bakterinin uzunluğu ≈ 0,000002 m = 2 × 10⁻⁶ m
- Işık hızı ≈ 3 × 10⁸ m/s
İşlem: (4 × 10⁵) · (3 × 10⁻²) = 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴
(6 × 10⁸) / (2 × 10³) = 3 × 10⁵
💡 Bilimsel gösterimde a’nın 1 ile 10 arasında olmasına dikkat: 12 × 10³ bilimsel gösterim değildir.
Köklü ifadeler
ⁿ√a: n. kuvveti a olan sayı. n çift ise a ≥ 0 olmalıdır.
Kuralları (a, b ≥ 0):
- √(a · b) = √a · √b → √72 = √(36 · 2) = 6√2
- √(a/b) = √a / √b
- a√x ± b√x = (a ± b)√x → 3√5 + 2√5 = 5√5
- √(a²) = |a| → √((−4)²) = 4
- Kök dışına alma: √(a² · b) = |a|√b; kök içine alma: 3√2 = √18
Paydayı rasyonel yapma:
- 6 / √3 = 6√3 / 3 = 2√3
- Eşlenik: (√a + √b)(√a − √b) = a − b
→ 4 / (√5 − 1) = 4(√5 + 1) / (5 − 1) = √5 + 1
Rasyonel üs: üslü ⇄ köklü
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (a > 0)
- 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4
- 27^(−1/3) = 1 / ∛27 = 1/3
- √x · ∛x = x^(1/2) · x^(1/3) = x^(5/6)
Sıralama: √3, ∛5, ⁶√20 → hepsini 6. dereceden köke çevir:
√3 = ⁶√27, ∛5 = ⁶√25, ⁶√20 → ⁶√20 < ∛5 < √3
Kavramlar
- bilimsel gösterim
- a × 10ⁿ biçimi
- eşlenik
- kökü yok etmek için çarpılan ifade
- kök derecesi
- ⁿ√ içindeki n
- rasyonel üs
- kesir biçimindeki üs
- taban
- aⁿ ifadesindeki a
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- −2⁴ ≠ (−2)⁴
- Bilimsel gösterim: a × 10ⁿ, 1 ≤ |a| < 10
- √(a²) = |a|
- Eşlenik: (√a + √b)(√a − √b) = a − b
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Örnek soru ve çözümü
(2⁻¹ + 3⁻¹)⁻¹ işleminin sonucu kaçtır?
2⁻¹ + 3⁻¹ = 1/2 + 1/3 = 5/6 → (5/6)⁻¹ = 6/5
Çözümlü örnekler
1. √50 + √8 işlemini yapınız. Kolay
Çözüm5√2 + 2√2 = 7√2.
2. 0,00048 sayısını bilimsel gösterimle yazınız. Orta
Çözüm4,8 × 10⁻⁴.
3. 2 / (√7 + √5) ifadesinin paydasını rasyonel yapınız. Zor
Çözüm2(√7 − √5) / (7 − 5) = √7 − √5.
Sık yapılan hatalar
- aᵐ · aⁿ = aᵐⁿ sanmak (üsler toplanır).
- √(a + b) = √a + √b sanmak.
- √(x²) = x yazmak (doğrusu |x|).
Biliyor muydun?
Gözlemlenebilir evrendeki atom sayısının yaklaşık 10⁸⁰ olduğu tahmin ediliyor. Bilimsel gösterim olmasaydı bu sayıyı yazmak için 81 basamak gerekirdi!