Küme kavramı ve gösterimleri (liste, ortak özellik, Venn); eleman, boş küme, alt küme, eşit küme; evrensel küme ve tümleme; birleşim, kesişim, fark; De Morgan kuralları; eleman sayısı bağıntıları ve problemler.
Küme ve gösterimleri
Küme: iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. “Sınıfın uzun öğrencileri” küme değildir (uzun kime göre?); “boyu 170 cm’den uzun öğrenciler” kümedir.
| Gösterim | Örnek |
|---|---|
| Liste | A = {2, 4, 6, 8} |
| Ortak özellik | A = {x : x çift doğal sayı, 0 < x < 10} |
| Venn şeması | elemanlar kapalı bir eğri içinde |
- ∈ elemanıdır, ∉ elemanı değildir: 4 ∈ A, 5 ∉ A
- s(A): eleman sayısı → s(A) = 4
- Boş küme: ∅ veya { } → s(∅) = 0. ⚠️ {0} ve {∅} boş küme değildir.
Alt küme ve eşit küme
A ⊂ B: A’nın her elemanı B’nin de elemanıdır.
- Her küme kendisinin alt kümesidir; ∅ her kümenin alt kümesidir.
- n elemanlı kümenin alt küme sayısı 2ⁿ, öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1’dir.
- r elemanlı alt küme sayısı: C(n, r)
Örnek: A = {a, b, c} → 2³ = 8 alt küme: ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}
Eşit küme: Aynı elemanlardan oluşan kümeler: {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. (Sıra ve tekrar önemli değildir.)
Denk küme: Eleman sayıları eşit kümeler: s(A) = s(B).
Küme işlemleri
| İşlem | Anlamı | Sembol |
|---|---|---|
| Birleşim | A veya B’de olanlar | A ∪ B |
| Kesişim | A ve B’de olanlar | A ∩ B |
| Fark | A’da olup B’de olmayanlar | A \ B (A − B) |
| Tümleme | E’de olup A’da olmayanlar | A′ |
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} → A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3, 4}, A \ B = {1, 2}, B \ A = {5}
Kesişimi boş olan kümelere ayrık kümeler denir.
De Morgan kuralları: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ · (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
Eleman sayısı ve problemler
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)
Problem: 40 kişilik bir sınıfta 24 öğrenci satranç, 18 öğrenci müzik kulübüne katılıyor. 7 öğrenci iki kulübe de katılmıyor. Her iki kulübe katılan kaç öğrenci vardır?
- En az bir kulübe katılan: 40 − 7 = 33
- 33 = 24 + 18 − x → x = 9
- Yalnız satranç: 24 − 9 = 15 · Yalnız müzik: 18 − 9 = 9
Kavramlar
- evrensel küme
- üzerinde çalışılan tüm elemanlar (E)
- tümleme
- E’de olup A’da olmayanlar
- ayrık küme
- kesişimi boş kümeler
- öz alt küme
- kendisi dışındaki alt kümeler
- denk küme
- eleman sayısı eşit kümeler
- Küme iyi tanımlanmış olmalı
- ∅ her kümenin alt kümesidir
- n elemanlı kümenin 2ⁿ alt kümesi vardır
- A ∪ B veya, A ∩ B ve, A \ B fark, A′ tümleme
- De Morgan: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
- s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)
Örnek soru ve çözümü
Venn şemasına göre A \ B, (A ∪ B)′ ve s(A ∪ B) nedir?
A \ B = {1, 2}; (A ∪ B)′ = {6, 7}; s(A ∪ B) = 5.
Çözümlü örnekler
1. A = {k, a, l, e, m} kümesinin kaç alt kümesi vardır? Kolay
Çözüm2⁵ = 32.
2. s(A) = 12, s(B) = 9, s(A ∪ B) = 17 ise s(A ∩ B) kaçtır? Orta
Çözüm12 + 9 − 17 = 4.
3. 5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Zor
ÇözümC(5, 2) = 10.
Sık yapılan hatalar
- {∅} kümesini boş küme sanmak (1 elemanlıdır).
- A \ B ile B \ A’yı aynı sanmak.
- s(A ∪ B) hesaplarken kesişimi çıkarmayı unutmak.
Biliyor muydun?
Venn şemaları adını 1880’de onları yaygınlaştıran İngiliz mantıkçı John Venn’den alır. Cambridge’deki bir vitray pencerede onun anısına bir Venn şeması bulunur!