Önerme ve doğruluk değeri; değil, ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak bağlaçları; doğruluk tabloları; De Morgan kuralları; koşullu önermenin karşıtı, tersi ve karşıt tersi; “her” ve “bazı” niceleyicileri ve olumsuzları; bağlaç ve niceleyicilerin algoritmalardaki koşullarda kullanımı.
Önerme ve bağlaçlar
Önerme: doğru (1) ya da yanlış (0) kesin hüküm bildiren ifade.
- “7 asal sayıdır.” → önerme (1) · “Bu soru zor mu?” → önerme değil
| Bağlaç | Gösterim | Ne zaman doğru? |
|---|---|---|
| değil | p′ | p yanlışken |
| ve | p ∧ q | ikisi de doğruyken |
| veya | p ∨ q | en az biri doğruyken |
| ya da | p ⊻ q | yalnız biri doğruyken |
| ise | p ⇒ q | 1 ⇒ 0 dışında hep doğru |
| ancak ve ancak | p ⇔ q | ikisinin değeri aynıyken |
Doğruluk tablosu ve De Morgan
| p | q | p ∧ q | p ∨ q | p ⇒ q | p ⇔ q |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
De Morgan: (p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′ · (p ∨ q)′ ≡ p′ ∧ q′
ise’nin eşdeğeri: p ⇒ q ≡ p′ ∨ q
Koşullu önermeden türeyenler (p ⇒ q):
- Karşıtı: q ⇒ p · Tersi: p′ ⇒ q′ · Karşıt tersi: q′ ⇒ p′ (p ⇒ q ile denktir)
→ “Yağmur yağarsa yer ıslanır.” ≡ “Yer ıslanmamışsa yağmur yağmamıştır.”
| p | q | p ∧ q | p ∨ q | p ⇒ q |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Niceleyiciler: her ve bazı
- ∀ (her): “∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0” → doğru
- ∃ (bazı / en az bir): “∃x ∈ ℕ, x + 3 = 1” → yanlış
Olumsuzları:
- (∀x, p(x))′ ≡ ∃x, p(x)′ → “Her öğrenci gözlüklüdür.” değili: “Bazı öğrenciler gözlüklü değildir.”
- (∃x, p(x))′ ≡ ∀x, p(x)′ → “Bazı kuşlar uçamaz.” değili: “Her kuş uçar.”
⚠️ “Her öğrenci gözlüklü değildir” ifadesi “hiçbir öğrenci gözlüklü değildir” anlamına gelmez.
Algoritmalarda kullanım:
- “Eğer yaş ≥ 18 ve ehliyet var ise araç kiralayabilir.”
- “Eğer not < 50 veya devamsızlık > 10 ise kalır.”
- “Listede her sayı pozitifse ‘Evet’ yaz” → bir tane negatif bulunduğunda döngü durabilir.
Kavramlar
- önerme
- doğru/yanlış hüküm
- bağlaç
- önermeleri birleştiren işlem
- niceleyici
- her (∀), bazı (∃)
- karşıt ters
- q′ ⇒ p′
- denk önerme
- doğruluk değerleri aynı önermeler
- Önerme: kesin doğru ya da yanlış
- ve: ikisi de doğru; veya: en az biri doğru
- p ⇒ q yalnız 1 ⇒ 0 iken yanlış
- De Morgan: (p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′
- Karşıt ters (q′ ⇒ p′) önermeye denktir
- “Her” değili “bazı … değil”; “bazı” değili “her … değil”
Örnek soru ve çözümü
p: “12 çift sayıdır.” (1), q: “12 asaldır.” (0). p ⇒ q, q ⇒ p ve p′ ∨ q önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.
p ⇒ q: 1 ⇒ 0 = 0. q ⇒ p: 0 ⇒ 1 = 1. p′ ∨ q = 0 ∨ 0 = 0 (p ⇒ q ile aynı, çünkü denktir).
Çözümlü örnekler
1. “5 > 3 ve 2 tek sayıdır.” önermesinin doğruluk değeri nedir? Kolay
Çözüm1 ∧ 0 = 0 (yanlış).
2. “Bütün sınıf geziye katıldı.” önermesinin değilini yazınız. Orta
ÇözümBazı öğrenciler geziye katılmadı. (En az bir öğrenci katılmadı.)
3. “Bir sayı 6’ya bölünüyorsa 3’e bölünür.” önermesinin karşıtını ve karşıt tersini yazıp doğruluğunu inceleyiniz. Zor
ÇözümKarşıtı: “3’e bölünüyorsa 6’ya bölünür.” yanlış (9). Karşıt tersi: “3’e bölünmüyorsa 6’ya bölünmez.” doğru (önermeye denk).
Sık yapılan hatalar
- p ⇒ q’nun karşıtının (q ⇒ p) da doğru olacağını sanmak.
- “Her … değil” ile “hiçbir …” ifadelerini aynı sanmak.
- “veya” ile “ya da”yı karıştırmak.
Biliyor muydun?
Bilgisayarlardaki tüm işlemler aslında “ve”, “veya”, “değil” mantık kapılarından oluşur. Bu cebiri 1854’te George Boole geliştirdi; bu yüzden programlamada doğru/yanlış değerlerine “Boolean” denir.