Oran ve orantı; orantının özellikleri; doğru orantı (y = kx, doğrusal ve orijinden geçen) ve ters orantı (x · y = k); yüzde, artış-azalış, kâr-zarar; ölçek ve birim oran; karışım ve iş-hız problemleri.
Oran ve orantı
Oran: aynı birimli iki çokluğun bölümü: a/b (b ≠ 0)
Orantı: iki oranın eşitliği: a/b = c/d ⇔ a · d = b · c (içler-dışlar çarpımı)
Orantı sabiti: a/b = c/d = e/f = k ise (a + c + e)/(b + d + f) = k
Örnek: a/3 = b/5 = c/7 ve a + b + c = 60 → 15k = 60 → k = 4 → a = 12, b = 20, c = 28
Doğru orantı ve ters orantı
| Doğru orantı | Ters orantı | |
|---|---|---|
| Tanım | y = k · x (y/x sabit) | x · y = k (çarpım sabit) |
| Biri artınca | diğeri aynı oranda artar | diğeri aynı oranda azalır |
| Grafik | orijinden geçen doğru | hiperbol (eğri) |
| Örnek | kg – fiyat, zaman – yol (sabit hız) | işçi sayısı – iş süresi, hız – süre |
Doğru orantı: 3 kg elma 105 TL → 1 kg 35 TL → F = 35m → 8 kg = 280 TL
Ters orantı: 6 işçi bir işi 10 günde bitiriyor → 6 · 10 = 60 → 4 işçi 15 günde bitirir.
💡 Doğru orantı, b = 0 olan doğrusal fonksiyondur: eğim = orantı sabiti.
Yüzde, artış-azalış ve kâr-zarar
- a’nın %p’si = a · p/100
- %p artış: yeni = eski · (1 + p/100) · %p azalış: yeni = eski · (1 − p/100)
- Ardışık değişimler çarpılır: %20 zam + %20 indirim → 1,2 · 0,8 = 0,96 → %4 azalış (eski fiyata dönmez!)
Kâr-zarar: Satış = Maliyet · (1 + kâr%/100)
- 400 TL’ye alınan ürün %25 kârla → 400 · 1,25 = 500 TL
- Ürün 360 TL’ye satılırsa → zarar 40 TL → %10 zarar
Ölçek, karışım ve hız problemleri
Ölçek = harita uzunluğu / gerçek uzunluk → 1 : 200 000 ölçekli haritada 3 cm = 600 000 cm = 6 km
Karışım: %20’lik 300 g tuzlu suya 100 g su eklenirse → tuz 60 g, toplam 400 g → %15
Hız: Yol = hız × zaman
- 360 km’lik yolu 90 km/sa ile giden araç 4 saatte gider.
- Aynı yol 3 saatte gidilmek istenirse hız 120 km/sa olmalıdır (hız-zaman ters orantılı).
Ortalama hız = toplam yol / toplam zaman (hızların ortalaması değil!)
Kavramlar
- orantı sabiti
- k değeri
- ters orantı
- çarpımı sabit ilişki
- maliyet
- alış fiyatı
- ölçek
- küçültme-büyütme oranı
- derişim
- karışımdaki madde oranı
- a/b = c/d ⇔ ad = bc
- Doğru orantı: y = kx, grafik orijinden geçen doğru
- Ters orantı: x · y = k
- Ardışık yüzdeler çarpılır: 1,2 · 0,8 = 0,96
- Ölçek = harita / gerçek
- Ortalama hız = toplam yol / toplam zaman
Örnek soru ve çözümü
Bir ürünün fiyatına önce %25 zam, sonra %20 indirim yapılıyor. Son fiyat ilk fiyata göre nasıl değişmiştir?
1,25 · 0,80 = 1,00 → Fiyat değişmemiştir.
Çözümlü örnekler
1. 5 defter 150 TL ise 8 defter kaç TL’dir? Kolay
Çözüm1 defter 30 TL → 240 TL.
2. 12 musluk bir havuzu 5 saatte dolduruyor. Aynı musluklardan 20 tane havuzu kaç saatte doldurur? Orta
Çözüm12 · 5 = 60 → 60 / 20 = 3 saat.
3. Bir araç gidişte 60 km/sa, dönüşte 40 km/sa hızla aynı yolu gidiyor. Ortalama hızı kaçtır? Zor
ÇözümYol 120 km alınırsa: gidiş 2 sa, dönüş 3 sa → 240/5 = 48 km/sa (50 değil!).
Sık yapılan hatalar
- %20 zam + %20 indirimin fiyatı değiştirmediğini sanmak.
- Ters orantılı durumu doğru orantı gibi çözmek.
- Ortalama hızı hızların aritmetik ortalaması sanmak.
Biliyor muydun?
Leonardo da Vinci’nin Vitruvius Adamı çiziminde kulaç uzunluğu boya eşittir: kollarını açtığında iki elinin arası yaklaşık kendi boyun kadardır. Kendin dene!