Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler; eşitsizlikler ve özellikleri (negatif sayıyla çarpınca yön değişimi); denklem ve eşitsizliklerle gerçek hayat problemlerini modelleme; iki doğrusal fonksiyonu karşılaştırma ve grafiklerin kesişimi; çözümün bağlama uygunluğunu yorumlama.
Birinci dereceden denklemler
ax + b = 0 (a ≠ 0) → x = −b/a
Çözüm adımları: paydaları eşitle → parantezleri aç → bilinmeyenleri bir tarafa topla → sadeleştir
Örnek: (x − 1)/3 + (x + 2)/2 = 4
→ 2(x − 1) + 3(x + 2) = 24 → 5x + 4 = 24 → x = 4
Özel durumlar:
- 2x + 3 = 2x + 5 → 3 = 5 → çözüm yok (Ç = ∅)
- 2(x + 1) = 2x + 2 → her x için doğru (Ç = ℝ, özdeşlik)
Eşitsizlikler
Özellikler:
- Her iki tarafa aynı sayı eklenip çıkarılabilir.
- Pozitif sayıyla çarpma/bölme yönü değiştirmez.
- Negatif sayıyla çarpma/bölme yönü değiştirir!
Örnek: 5 − 2x > 11 → −2x > 6 → x < −3 → (−∞, −3)
Çift taraflı: −1 ≤ 3x + 2 < 8 → −3 ≤ 3x < 6 → −1 ≤ x < 2 → [−1, 2)
Modelleme: denklem ve eşitsizlik problemleri
Adımlar: 1) Bilinmeyeni tanımla 2) Verileri matematik diline çevir 3) Çöz 4) Sonucu bağlama göre yorumla (negatif kişi sayısı olur mu?)
Örnek 1 – Bütçe: Bir öğrencinin 1500 TL’si var. 360 TL’lik bir çanta aldıktan sonra tanesi 45 TL olan defterlerden en fazla kaç tane alabilir?
→ 360 + 45d ≤ 1500 → 45d ≤ 1140 → d ≤ 25,3… → en fazla 25 defter (d doğal sayı)
Örnek 2 – Ardışık sayılar: Ardışık üç çift sayının toplamı 78’dir. En büyüğü kaçtır?
→ x + (x + 2) + (x + 4) = 78 → 3x + 6 = 78 → x = 24 → 28
İki tarifeyi karşılaştırma
A spor salonu: üyelik 600 TL + giriş başına 50 TL → A(x) = 50x + 600
B spor salonu: üyelik yok, giriş başına 90 TL → B(x) = 90x
- Eşit olduğu nokta: 50x + 600 = 90x → x = 15 giriş (ikisi de 1350 TL)
- 15’ten az gidecek biri için B, 15’ten fazla gidecek biri için A daha ucuzdur.
- Eşitsizlik: A(x) < B(x) → 600 < 40x → x > 15
💡 İki doğrunun kesişim noktası, iki seçeneğin “eşit maliyetli” olduğu noktadır.
Kavramlar
- denklem
- bilinmeyen içeren eşitlik
- eşitsizlik
- <, >, ≤, ≥ içeren ifade
- özdeşlik
- her değer için doğru eşitlik
- modelleme
- durumu matematik diline çevirme
- ardışık
- arka arkaya gelen
- ax + b = 0 → x = −b/a
- Negatif sayıyla çarpınca eşitsizlik yön değiştirir
- 2x + 3 = 2x + 5 → çözüm yok; özdeşlik → Ç = ℝ
- Modelle: bilinmeyen tanımla, denklem kur, çöz, yorumla
- Kişi, adet gibi nicelikler doğal sayı olmalı
- İki doğrunun kesişimi = eşit değer noktası
Örnek soru ve çözümü
Grafiğe göre ayda 20 kez spor salonuna giden biri hangi salonu seçmelidir? Ne kadar tasarruf eder?
A(20) = 1000 + 600 = 1600 TL; B(20) = 1800 TL. A seçilmeli; tasarruf 200 TL.
Çözümlü örnekler
1. 3(x − 2) = x + 8 denklemini çözünüz. Kolay
Çözüm3x − 6 = x + 8 → 2x = 14 → x = 7.
2. −3x + 4 ≥ 13 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Orta
Çözüm−3x ≥ 9 → x ≤ −3 → (−∞, −3].
3. Bir sınıftaki öğrencilere 4’er kalem dağıtılırsa 6 kalem artıyor, 5’er dağıtılırsa 8 kalem eksik kalıyor. Kaç öğrenci vardır? Zor
Çözüm4x + 6 = 5x − 8 → x = 14 öğrenci (kalem sayısı 62).
Sık yapılan hatalar
- Negatif sayıya bölerken eşitsizlik yönünü değiştirmemek.
- Parantez önündeki eksiyi tüm terimlere dağıtmamak.
- “En fazla kaç defter” sorusunda 25,3 gibi ondalık cevap vermek.
Biliyor muydun?
Denklem için kullandığımız “=” işaretini 1557’de Robert Recorde icat etti. Gerekçesi: “Hiçbir şey iki paralel çizgiden daha eşit olamaz!”