Doğal, tam, rasyonel, irrasyonel ve gerçek sayılar; kümeler arası ilişki; aralık gösterimleri ve sayı doğrusu; aralıklarla birleşim-kesişim-fark; kapalılık, değişme, birleşme, dağılma, etkisiz ve ters eleman özellikleri.
Sayı kümeleri
| Küme | Sembol | Örnek |
|---|---|---|
| Doğal sayılar | ℕ = {0, 1, 2, …} | 0, 7, 120 |
| Tam sayılar | ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} | −5, 0, 9 |
| Rasyonel sayılar | ℚ = {a/b : a, b ∈ ℤ, b ≠ 0} | 3/4, −2, 0,5, 0,333… |
| İrrasyonel sayılar | ℚ′ | √2, π, e, √5 |
| Gerçek sayılar | ℝ = ℚ ∪ ℚ′ | hepsi |
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ve ℚ ∩ ℚ′ = ∅
- Devirli ondalık sayılar rasyoneldir: 0,4̄ = 4/9, 1,2̄ = 11/9
- Devirsiz ve sonsuz ondalık sayılar irrasyoneldir: π = 3,14159…
- ⚠️ √9 = 3 rasyoneldir; √8 irrasyoneldir.
Gerçek sayı aralıkları
| Aralık | Anlamı | Sayı doğrusu |
|---|---|---|
| [a, b] | a ≤ x ≤ b (kapalı) | iki uç dolu |
| (a, b) | a < x < b (açık) | iki uç boş |
| [a, b) | a ≤ x < b (yarı açık) | a dolu, b boş |
| (a, b] | a < x ≤ b | a boş, b dolu |
| [a, ∞) | x ≥ a | a’dan sağa ışın |
| (−∞, a) | x < a | a’dan sola ışın |
⚠️ ∞ bir sayı değildir; yanına her zaman parantez konur.
Örnek: −2 < x ≤ 3 → (−2, 3]. Bu aralıktaki tam sayılar: −1, 0, 1, 2, 3 → 5 tane.
Aralıklarla küme işlemleri
A = [−1, 4), B = (2, 6] olsun.
- A ∩ B = (2, 4) (iki aralığın ortak kısmı)
- A ∪ B = [−1, 6]
- A \ B = [−1, 2] (2, B’ye ait değil, A’da kalır)
- ℝ \ A = (−∞, −1) ∪ [4, ∞)
💡 Sayı doğrusu üzerinde iki aralığı alt alta çizmek, uç noktaların açık mı kapalı mı olduğunu görmenin en güvenli yoludur.
İşlem özellikleri
| Özellik | Anlamı | Örnek |
|---|---|---|
| Kapalılık | İşlemin sonucu yine kümede | ℕ toplamada kapalı, çıkarmada değil (2 − 5 = −3) |
| Değişme | a ∗ b = b ∗ a | toplama ve çarpma değişmeli; çıkarma değil |
| Birleşme | (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) | toplama, çarpma |
| Dağılma | a(b + c) = ab + ac | çarpmanın toplama üzerine dağılması |
| Etkisiz eleman | a ∗ e = a | toplamada 0, çarpmada 1 |
| Ters eleman | a ∗ a⁻¹ = e | a’nın toplamaya göre tersi −a, çarpmaya göre tersi 1/a (a ≠ 0) |
- ℤ bölmede kapalı değildir: 3 ÷ 2 = 1,5 ∉ ℤ
- ℚ′ toplamada kapalı değildir: √2 + (−√2) = 0 ∈ ℚ
- İki irrasyonel sayının çarpımı rasyonel olabilir: √2 · √8 = 4
Kavramlar
- irrasyonel
- a/b biçiminde yazılamayan sayı
- aralık
- iki sayı arasındaki tüm gerçek sayılar
- kapalılık
- işlem sonucunun kümede kalması
- etkisiz eleman
- işlemde sayıyı değiştirmeyen eleman
- devirli ondalık
- basamakları tekrar eden ondalık
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ; ℝ = ℚ ∪ ℚ′
- Devirli ondalık rasyonel, devirsiz sonsuz ondalık irrasyonel
- [ ] kapalı uç (dolu), ( ) açık uç (boş)
- ∞ yanında her zaman parantez
- Kapalılık: sonuç kümenin içinde kalır
- Etkisiz: toplamada 0, çarpmada 1
Örnek soru ve çözümü
A = [−1, 4) ve B = (2, 6] için A ∩ B ve A \ B aralıklarını bulunuz.
A ∩ B = (2, 4); A \ B = [−1, 2].
Çözümlü örnekler
1. 0,7̄ devirli sayısını kesir olarak yazınız. Kolay
Çözüm7/9.
2. [−3, 2) aralığında kaç tam sayı vardır? Orta
Çözüm−3, −2, −1, 0, 1 → 5 tane.
3. “İki irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir.” önermesini bir karşı örnekle çürütünüz. Zor
Çözüm(1 + √2) + (1 − √2) = 2 rasyoneldir; önerme yanlıştır.
Sık yapılan hatalar
- √16’yı irrasyonel sanmak.
- [2, ∞] yazmak (∞ yanında parantez olmalı).
- Aralık fark işleminde uç noktanın kime ait olduğunu karıştırmak.
Biliyor muydun?
π’nin irrasyonel olduğu 1761’de Johann Lambert tarafından kanıtlandı. Bugün π’nin 100 trilyondan fazla basamağı hesaplandı ama hiç tekrar eden bir blok bulunmadı!