Olasılığın temel kavramlarının tekrarı; koşullu olasılık P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B); iki yönlü tablolardan koşullu olasılık; bağımlı ve bağımsız olaylar; çarpım kuralı; ağaç diyagramları ve toplam olasılık; Bayes teoremi ve tıbbi test, filtreleme gibi gerçek hayat uygulamaları.
Koşullu olasılık
B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığı:
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) (P(B) > 0)
→ Örneklem uzayı B’ye daralır.
Örnek: Bir zar atılıyor, sonucun çift olduğu biliniyor. 4 gelme olasılığı?
→ B = {2, 4, 6}, A ∩ B = {4} → P(A | B) = 1/3 (koşulsuz 1/6’ydı)
İki yönlü tablodan: 200 öğrenciden 105’i spor yapıyor, bunların 45’i kız → spor yaptığı bilinen bir öğrencinin kız olma olasılığı = 45/105 = 3/7
Bağımsız olaylar ve ağaç diyagramı
Bağımsız olaylar: Birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmez
→ P(A | B) = P(A) ve P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
→ Para atma ve zar atma; iadeli çekiliş
Bağımlı olaylar: İadesiz çekilişlerde olasılık değişir.
→ Torbada 3 kırmızı, 2 mavi top; iadesiz iki top çekiliyor, ikisinin de kırmızı olma olasılığı: 3/5 · 2/4 = 3/10
Ağaç diyagramı: Dallar boyunca olasılıklar çarpılır, aynı sonuca giden dallar toplanır (toplam olasılık).
→ Farklı renkte iki top çekme: K-M: 3/5 · 2/4 = 6/20 · M-K: 2/5 · 3/4 = 6/20 → toplam 12/20 = 3/5
Bayes teoremi
P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B)
P(B) = P(B | A)·P(A) + P(B | A′)·P(A′) (toplam olasılık)
Tıbbi test örneği: Bir hastalık toplumun %2’sinde görülüyor. Test hastaların %95’ini pozitif buluyor, sağlıklıların %5’ine yanlışlıkla pozitif diyor. Testi pozitif çıkan biri gerçekten hasta mı?
- 1000 kişide: 20 hasta → 19 pozitif · 980 sağlıklı → 49 yanlış pozitif
- Toplam pozitif 68 → P(hasta | pozitif) = 19/68 ≈ %28
💡 Hastalık nadirse, iyi bir testte bile pozitif sonuçların çoğu yanlış pozitif olabilir. Bu yüzden doktorlar ikinci bir test ister.
Diğer uygulamalar: e-posta istenmeyen ileti (spam) filtreleri, hava tahmini, yapay zekâ sınıflandırma
| Test pozitif | Test negatif | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Hasta (%2) | 19 | 1 | 20 |
| Sağlıklı (%98) | 49 | 931 | 980 |
| Toplam | 68 | 932 | 1000 |
Kavramlar
- koşullu olasılık
- bir olay bilinirken olasılık
- bağımsız olay
- olasılığı etkilenmeyen olay
- iadesiz
- çekileni geri koymadan
- toplam olasılık
- dalların toplamı
- yanlış pozitif
- olmayana var demek
- P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
- Koşul örneklem uzayını daraltır
- Bağımsız: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- İadesiz çekilişler bağımlıdır
- Ağaçta dallar çarpılır, sonuçlar toplanır
- Bayes: P(A | B) = P(B | A)·P(A) / P(B)
Örnek soru ve çözümü
Tabloya göre testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?
| Test pozitif | Test negatif | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Hasta (%2) | 19 | 1 | 20 |
| Sağlıklı (%98) | 49 | 931 | 980 |
| Toplam | 68 | 932 | 1000 |
Pozitif 68 kişinin 19’u hasta → 19/68 ≈ 0,28 (≈ %28).
Çözümlü örnekler
1. Bir para iki kez atılıyor. İkisinin de yazı gelme olasılığı kaçtır? Kolay
Çözüm1/2 · 1/2 = 1/4.
2. İki zar atılıyor, toplamın 8 olduğu biliniyor. Zarlardan birinin 3 olma olasılığı kaçtır? Orta
ÇözümToplam 8: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) → 3 içeren 2 → 2/5.
3. Bir fabrikada ürünlerin %60’ını A, %40’ını B makinesi üretiyor; kusur oranları %2 ve %5. Rastgele bir kusurlu ürünün B’den gelme olasılığı kaçtır? Zor
ÇözümP(K) = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,02 = 0,032 → P(B | K) = 0,02/0,032 = 0,625.
Sık yapılan hatalar
- P(A | B) ile P(B | A)’yı aynı sanmak.
- İadesiz çekilişte olasılığı değiştirmemek.
- Bağımsız olaylarda olasılıkları toplamak (çarpılmalı).
Biliyor muydun?
Bayes teoremi 18. yüzyılda bir din adamı olan Thomas Bayes’in notlarında bulundu ve ölümünden sonra yayımlandı; bugün yapay zekâ ve tıpta en çok kullanılan formüllerden biridir!