Grafikten tanım ve görüntü kümesi, artan-azalan aralıklar, maksimum-minimum, sıfırlar ve işaret okuma; öteleme (f(x − a), f(x) + b); eksenlere göre yansıma (−f(x), f(−x)); dikey ve yatay genişletme-daraltma; tek ve çift fonksiyonlar; parçalı fonksiyonlar.
Grafikten bilgi okuma
Bir fonksiyonun grafiğinden:
- Tanım kümesi: grafiğin x ekseni üzerindeki izdüşümü · Görüntü kümesi: y ekseni üzerindeki izdüşümü
- Artan: x büyürken y büyür · Azalan: x büyürken y küçülür · Sabit: yatay
- Yerel maksimum/minimum: tepeler ve çukurlar
- Sıfırlar (kökler): grafiğin x eksenini kestiği noktalar
- İşaret: x ekseninin üstü f(x) > 0, altı f(x) < 0
Tek ve çift fonksiyon:
- Çift: f(−x) = f(x) → y eksenine göre simetrik (x², |x|, cos x)
- Tek: f(−x) = −f(x) → orijine göre simetrik (x³, x, sin x)
Dönüşümler
| Dönüşüm | Etkisi |
|---|---|
| f(x) + b | b birim yukarı (b < 0 ise aşağı) |
| f(x − a) | a birim sağa (a < 0 ise sola) ⚠️ |
| −f(x) | x eksenine göre yansıma |
| f(−x) | y eksenine göre yansıma |
| k · f(x) (k > 1) | dikey genişleme (0 < k < 1: daralma) |
| f(kx) (k > 1) | yatay daralma |
Örnek: y = x² grafiğinden y = (x − 3)² + 2 → 3 birim sağa, 2 birim yukarı → tepe (3, 2)
Örnek: y = |x| → y = −|x + 1| → 1 birim sola, x eksenine göre yansıma → tepe (−1, 0), kollar aşağı
Parçalı fonksiyonlar
Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyon:
f(x) = { 2x + 1, x < 1 ise · x², x ≥ 1 ise }
- f(0) = 1 · f(1) = 1 · f(3) = 9
Gerçek hayat: Taksi ücreti, kademeli elektrik tarifesi, kargo ücreti (ağırlık aralıklarına göre)
→ Kargo: 0–2 kg: 60 TL · 2–5 kg: 90 TL · 5 kg üstü: 90 + 15(x − 5) TL
Kavramlar
- öteleme
- grafiği kaydırma
- yansıma
- eksene göre ayna görüntüsü
- çift fonksiyon
- f(−x) = f(x)
- tek fonksiyon
- f(−x) = −f(x)
- parçalı fonksiyon
- aralıklara göre tanımlı fonksiyon
- Tanım kümesi x’e, görüntü kümesi y’ye izdüşüm
- Çift fonksiyon y eksenine, tek fonksiyon orijine göre simetrik
- f(x) + b: dikey öteleme
- f(x − a): a birim sağa
- −f(x): x eksenine; f(−x): y eksenine göre yansıma
- Parçalı fonksiyon: aralığa göre farklı kural
Örnek soru ve çözümü
y = x² grafiği önce 2 birim sola, sonra 3 birim aşağı ötelenirse yeni fonksiyon ve tepe noktası nedir?
y = (x + 2)² − 3; tepe (−2, −3).
Çözümlü örnekler
1. f(x) = x⁴ + 1 tek mi çift mi? Kolay
ÇözümÇift (f(−x) = f(x)).
2. y = |x| grafiğinden y = |x − 4| + 1 nasıl elde edilir? Orta
Çözüm4 birim sağa, 1 birim yukarı öteleme.
3. Grafiğe göre 6 kg’lık kargonun ücreti kaç TL’dir? Zor
90 + 15·1 = 105 TL.
Sık yapılan hatalar
- f(x − 3) grafiğini sola kaydırmak (sağa kayar).
- −f(x) ile f(−x)’i karıştırmak.
- Her fonksiyonun tek ya da çift olduğunu sanmak (çoğu ikisi de değildir).
Biliyor muydun?
Bilgisayar oyunlarında karakterlerin zıplaması ve kameranın hareketi fonksiyon dönüşümleriyle (öteleme, ölçekleme, yansıma) hesaplanır!