İkinci dereceden denklemlerin çözümü (çarpanlara ayırma, tam kareye tamamlama, diskriminant ile kök formülü); kökler ile katsayılar arasındaki bağıntılar; ikinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu; fonksiyon grafiklerinin kesişimiyle denklem çözme; gerçek hayat problemlerini modelleme.
İkinci dereceden denklemler
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Çarpanlara ayırma: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2, x = 3
Kök formülü: Δ = b² − 4ac, x = (−b ± √Δ) / 2a
- Δ > 0: iki farklı gerçek kök · Δ = 0: çakışık (eşit) kök · Δ < 0: gerçek kök yok
Örnek: 2x² − 3x − 2 = 0 → Δ = 9 + 16 = 25 → x = (3 ± 5)/4 → x = 2, x = −1/2
Kök-katsayı bağıntıları:
- x₁ + x₂ = −b/a · x₁ · x₂ = c/a
→ x² − 7x + 10 = 0: toplam 7, çarpım 10 (kökler 2 ve 5)
- Kökleri verilen denklemi kurma: x² − (toplam)x + (çarpım) = 0
İkinci dereceden eşitsizlikler
İşaret tablosu yöntemi:
- Kökleri bul.
- Kökleri sayı doğrusuna yerleştir.
- En sağdaki aralıkta a’nın işareti alınır; çift katlı olmayan her kökte işaret değişir.
Örnek: x² − x − 6 < 0 → (x − 3)(x + 2) < 0 → kökler −2 ve 3; a > 0 → dışarıda +, köklerin arasında − → (−2, 3)
Grafik yorumu: f(x) = x² − x − 6 parabolünün x ekseninin altında kaldığı aralık
Modelleme
Alan problemi: Bir kenarı diğerinden 3 m uzun olan dikdörtgen bahçenin alanı 40 m² → x(x + 3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0 → (x + 8)(x − 5) = 0 → x = 5 (uzunluk negatif olamaz) → 5 × 8
Grafiklerin kesişimi: f(x) = x² ile g(x) = x + 2’nin kesişimi → x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → x = 2, x = −1 → noktalar (2, 4) ve (−1, 1)
Kâr eşitsizliği: K(x) = −x² + 40x − 300 > 0 → x² − 40x + 300 < 0 → (x − 10)(x − 30) < 0 → 10 < x < 30 adet satıldığında kâr edilir.
Kavramlar
- diskriminant
- Δ = b² − 4ac
- kök
- denklemi sağlayan değer
- çakışık kök
- eşit iki kök
- işaret tablosu
- ifadenin işaretini gösteren tablo
- modelleme
- durumu denkleme dönüştürme
- Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/2a
- Δ > 0 iki kök, Δ = 0 çakışık, Δ < 0 gerçek kök yok
- x₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/a
- Eşitsizlikte işaret tablosu: en sağda a’nın işareti
- a > 0 ise kökler arası negatif
- Grafiklerin kesişimi denklem çözümünü verir
Örnek soru ve çözümü
x² − 2x − 15 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
(x − 5)(x + 3) ≥ 0 → kökler −3 ve 5; a > 0 → dışarıda + → x ≤ −3 veya x ≥ 5 → (−∞, −3] ∪ [5, ∞).
Çözümlü örnekler
1. x² − 9 = 0 denkleminin kökleri nelerdir? Kolay
Çözüm3 ve −3.
2. Kökleri 4 ve −1 olan ikinci derece denklemi yazınız (a = 1). Orta
Çözümx² − 3x − 4 = 0.
3. x² + (m − 1)x + 4 = 0 denkleminin çakışık iki kökü varsa m kaçtır? Zor
ÇözümΔ = (m − 1)² − 16 = 0 → m − 1 = ±4 → m = 5 veya m = −3.
Sık yapılan hatalar
- Kök toplamını b/a almak (eksi işareti unutuluyor).
- Eşitsizlikte uç noktaların dahil olup olmadığına dikkat etmemek.
- Problemlerde negatif kökü kabul etmek.
Biliyor muydun?
İkinci dereceden denklemlerin çözümü yaklaşık 4000 yıl önce Babil tabletlerinde yer alıyordu; Harezmi ise 9. yüzyılda bu çözümleri sistemli hâle getirdi.