Merkez açı, çevre açı, teğet-kiriş açı, iç açı ve dış açı; yay ölçüsü ile açı ilişkileri (çevre açı gördüğü yayın yarısı; çapı gören çevre açı 90°; aynı yayı gören çevre açılar eşit); kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180°; kuvvet teoremleri: kesişen kirişler (a·b = c·d), dış noktadan kesen ve teğet (PT² = PA·PB).
Çemberde açılar
| Açı | Köşesi | Ölçüsü |
|---|---|---|
| Merkez açı | Merkezde | Gördüğü yaya eşit |
| Çevre açı | Çember üzerinde, kenarları kiriş | Gördüğü yayın yarısı |
| Teğet-kiriş açı | Çember üzerinde, bir kenarı teğet | Gördüğü yayın yarısı |
| İç açı | Çemberin içinde (iki kiriş kesişimi) | Gördüğü iki yayın toplamının yarısı |
| Dış açı | Çemberin dışında | Gördüğü yayların farkının yarısı |
Sonuçlar:
- Aynı yayı gören çevre açılar eşittir.
- Çapı gören çevre açı 90°’dir (Thales teoremi).
- Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır.
Kirişler dörtgeni
Kirişler dörtgeni: Dört köşesi de aynı çember üzerinde olan dörtgen
- Karşılıklı açıların toplamı 180°’dir (her biri karşı yayın yarısı, iki yay toplamı 360°)
- Bir dış açı, karşı iç açıya eşittir.
- Ters olarak: Karşılıklı açıları toplamı 180° olan dörtgen bir çembere çizilebilir.
Örnek: ABCD kirişler dörtgeninde ∠A = 3x + 10, ∠C = 2x + 20 → 5x + 30 = 180 → x = 30 → ∠A = 100°, ∠C = 80°
⚠️ Dikdörtgen ve ikizkenar yamuk kirişler dörtgenidir; eşkenar dörtgen (kare değilse) değildir.
Kuvvet teoremleri
1. Kesişen iki kiriş (iç nokta): [AB] ve [CD] kirişleri P’de kesişirse PA · PB = PC · PD
Ör. PA = 4, PB = 6, PC = 3 → PD = 24/3 = 8
2. Dış noktadan iki kesen: PA · PB = PC · PD (P’den yakın ve uzak kesim noktaları)
3. Dış noktadan teğet ve kesen: PT² = PA · PB
Ör. PA = 4, PB = 9 → PT² = 36 → PT = 6
💡 Bu bağıntılar benzer üçgenlerden elde edilir: Aynı yayı gören çevre açılar eşit olduğundan oluşan üçgenler benzerdir.
Kavramlar
- merkez açı
- köşesi merkezde olan açı
- çevre açı
- köşesi çember üzerinde olan açı
- kirişler dörtgeni
- köşeleri çember üzerinde dörtgen
- kuvvet
- noktanın çembere göre PA·PB değeri
- yay ölçüsü
- yayı gören merkez açının ölçüsü
- Merkez açı = gördüğü yay; çevre açı = yayın yarısı
- Çapı gören çevre açı 90°
- Teğet-kiriş açı gördüğü yayın yarısı
- İç açı yayların toplamının, dış açı farkının yarısı
- Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 180°
- PA·PB = PC·PD; PT² = PA·PB
Örnek soru ve çözümü
Şekle göre merkez açı 120° ise aynı yayı gören çevre açı kaçtır? Neden?
Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır: 120°/2 = 60°.
Çözümlü örnekler
1. 80°’lik yayı gören çevre açı kaç derecedir? Kolay
Çözüm40°.
2. Bir iç açının gördüğü yaylar 70° ve 110° ise açı kaçtır? Orta
Çözüm(70 + 110)/2 = 90°.
3. P dış noktasından çizilen teğet 10, kesenin çemberi kestiği yakın nokta P’ye 5 birim uzaklıktaysa uzak nokta P’ye kaç birim uzaktadır? Zor
ÇözümPT² = PA·PB → 100 = 5·PB → PB = 20.
Sık yapılan hatalar
- Çevre açıyı yayın kendisine eşit sanmak.
- Dış açıda yayları toplamak (farkı alınır).
- Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıları eşit sanmak.
Biliyor muydun?
Thales’in “çapı gören çevre açı diktir” teoremini kanıtladığında tanrılara bir öküz kurban ettiği anlatılır; bu, adı bilinen en eski matematiksel ispatlardan biridir!