Çemberin uzunluğu (2πr) ve π sayısı; dairenin alanı (πr²); yay uzunluğu (2πr · α/360); daire diliminin alanı (πr² · α/360) ve dilim alanının yay uzunluğuyla bağlantısı (l·r/2); daire parçası; daire halkası alanı π(R² − r²); günlük hayat problemleri (pizza, sulama sistemi, koşu pisti).
Çevre ve alan
π sayısı: Her çemberde çevre / çap oranı sabittir: π ≈ 3,14159… (irrasyonel)
- Çember uzunluğu: Ç = 2πr = πd
- Daire alanı: A = πr²
Örnek: r = 7 cm, π ≈ 22/7 → Ç = 2 · 22/7 · 7 = 44 cm, A = 22/7 · 49 = 154 cm²
⚠️ Yarıçap 2 katına çıkarsa çevre 2 katına, alan 4 katına çıkar (alan r² ile orantılı).
Yay uzunluğu ve daire dilimi
Merkez açısı α olan:
- Yay uzunluğu: l = 2πr · α / 360°
- Daire dilimi alanı: A = πr² · α / 360° = l · r / 2
Örnek: r = 6 cm, α = 60°
- l = 2π · 6 · 60/360 = 2π cm
- A = π · 36 · 60/360 = 6π cm² (kontrol: l · r / 2 = 2π · 6 / 2 = 6π ✓)
Daire parçası: Kiriş ile yay arasında kalan bölge = dilim alanı − üçgen alanı
Daire halkası: İç içe iki eş merkezli daire arasında kalan bölge: A = π(R² − r²)
Günlük hayat problemleri
- Pizza dilimi: 30 cm çaplı pizza 8 eşit dilime bölünürse her dilim π · 15² / 8 ≈ 88,4 cm²
- Fıskiye: 10 m menzilli, 90° dönen fıskiye π · 100 / 4 ≈ 78,5 m² alanı sular.
- Bisiklet tekerleği: Çapı 70 cm teker bir turda π · 70 ≈ 220 cm yol alır; 1 km için ≈ 455 tur
- Koşu pisti: İç kulvarda bir tur ile dış kulvarda bir tur farklı uzunluktadır; bu yüzden yarışlarda dış kulvardakiler önden başlar (yarıçap farkı × 2π kadar).
Kavramlar
- π
- çevrenin çapa oranı
- yay uzunluğu
- çemberin bir parçasının uzunluğu
- daire dilimi
- iki yarıçap ve yay arasındaki bölge
- daire halkası
- eş merkezli iki daire arasındaki bölge
- daire parçası
- kiriş ile yay arasındaki bölge
- Ç = 2πr, A = πr²
- π: çevre/çap oranı, ≈ 3,14
- Yay uzunluğu 2πr·α/360
- Dilim alanı πr²·α/360 = l·r/2
- Halka alanı π(R² − r²)
- Yarıçap k katına çıkarsa alan k² katına çıkar
Örnek soru ve çözümü
Şekildeki 60°’lik dilimde yarıçap 6 ise dilimin alanı ve yay uzunluğu kaçtır?
Alan = 36π · 60/360 = 6π; yay = 12π · 60/360 = 2π.
Çözümlü örnekler
1. Yarıçapı 5 cm olan dairenin alanı kaç π cm²’dir? Kolay
Çözüm25π.
2. Çevresi 20π olan dairenin alanı kaçtır? Orta
Çözüm2πr = 20π → r = 10 → A = 100π.
3. Yarıçapları 5 ve 3 olan eş merkezli dairelerin arasındaki halkanın alanı kaçtır? Zor
Çözümπ(25 − 9) = 16π.
Sık yapılan hatalar
- Çapı yarıçap yerine kullanmak.
- Alanda r² yerine 2r almak.
- Dilim alanında açıyı 360°’e bölmeyi unutmak.
Biliyor muydun?
π’nin basamakları bilgisayarlarla 100 trilyondan fazla basamağa kadar hesaplandı; ama NASA uzay hesaplarında yalnızca yaklaşık 15 basamak kullanır!