Çokgenlerin kenar sayısına göre adlandırılması; dışbükey ve içbükey çokgen; düzgün ve düzgün olmayan çokgen; iç açılar toplamı (n − 2)·180°, dış açılar toplamı 360°; düzgün çokgende bir iç ve bir dış açı; köşegen sayısı n(n − 3)/2; düzgün altıgenin alanı; çokgenlerle düzlemi kaplama (parke), bal peteği ve mimari problemleri.
Çokgenlerin sınıflandırılması
Çokgen: Doğru parçalarıyla sınırlanmış kapalı düzlemsel şekil
| Kenar sayısı | Ad |
|---|---|
| 3 | Üçgen |
| 4 | Dörtgen |
| 5 | Beşgen |
| 6 | Altıgen |
| 8 | Sekizgen |
| 10 | Ongen |
| n | n-gen |
Sınıflandırma:
- Dışbükey (konveks): Tüm iç açılar < 180°; içindeki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası tamamen içeride kalır.
- İçbükey (konkav): En az bir iç açı > 180° (“içeri göçük”)
- Düzgün çokgen: Tüm kenarları ve tüm açıları eşit (eşkenar üçgen, kare, düzgün altıgen)
⚠️ Eşkenar dörtgenin kenarları eşittir ama açıları eşit olmayabilir → düzgün değildir.
Dışbükey çokgenin açıları ve köşegenleri
n kenarlı dışbükey çokgende:
| Özellik | Formül | Neden? |
|---|---|---|
| İç açılar toplamı | (n − 2) · 180° | Bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni n − 2 üçgene ayırır |
| Dış açılar toplamı | 360° | Her köşede iç + dış = 180°; toplamdan iç açılar çıkarılır |
| Bir köşeden köşegen | n − 3 | Kendisi ve iki komşusu hariç |
| Toplam köşegen | n(n − 3) / 2 | Her köşegen iki kez sayılır |
Düzgün çokgende:
- Bir dış açı = 360° / n
- Bir iç açı = (n − 2)·180° / n = 180° − 360°/n
Örnek (düzgün altıgen): İç açılar toplamı 4 · 180° = 720°; bir iç açı 120°; bir dış açı 60°; köşegen 6 · 3 / 2 = 9
| Düzgün çokgen | Bir iç açı | Bir dış açı | Köşegen |
|---|---|---|---|
| Eşkenar üçgen | 60° | 120° | 0 |
| Kare | 90° | 90° | 2 |
| Beşgen | 108° | 72° | 5 |
| Altıgen | 120° | 60° | 9 |
| Sekizgen | 135° | 45° | 20 |
Çokgenlerle ilgili problemler
Düzgün altıgenin alanı: Merkezden köşelere çizilen doğrularla 6 eşkenar üçgene ayrılır → A = 6 · (a²√3 / 4)
Ör. a = 4 cm → 6 · (16√3/4) = 24√3 cm²
Düzlemi kaplama (parke): Bir köşede birleşen açıların toplamı 360° olmalıdır.
- Eşkenar üçgen: 60° × 6 = 360° ✓ · Kare: 90° × 4 ✓ · Düzgün altıgen: 120° × 3 ✓
- Düzgün beşgen: 108° → 360/108 tam sayı değil → kaplayamaz
→ Düzlemi tek başına kaplayabilen düzgün çokgenler yalnızca üçgen, kare ve altıgendir.
Bal peteği: Arılar altıgen kullanır: Aynı çevreyle en büyük alanı kaplayan ve boşluk bırakmadan döşenen şekil → en az balmumuyla en çok bal!
Mimari: Selçuklu yıldız motifleri ve geometrik desenler (girih) düzgün çokgenlerin birleşimidir.
Kavramlar
- dışbükey
- iç açıları 180°’den küçük
- düzgün çokgen
- kenarları ve açıları eşit çokgen
- köşegen
- komşu olmayan köşeleri birleştiren
- parke
- düzlemi boşluksuz kaplama
- dış açı
- iç açının bütünleri
- Dışbükey: tüm iç açılar < 180°; içbükey: bir açı > 180°
- Düzgün çokgen: kenarlar ve açılar eşit
- İç açılar toplamı (n − 2)·180°, dış açılar 360°
- Düzgün çokgende dış açı 360°/n
- Köşegen sayısı n(n − 3)/2
- Düzlemi kaplayan düzgün çokgenler: üçgen, kare, altıgen
Örnek soru ve çözümü
Bir iç açısı 140° olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır? Kaç köşegeni vardır?
Dış açı = 180 − 140 = 40°; n = 360/40 = 9 (dokuzgen). Köşegen = 9 · 6 / 2 = 27.
Çözümlü örnekler
1. Sekizgenin iç açıları toplamı kaçtır? Kolay
Çözüm(8 − 2) · 180 = 1080°.
2. Bir çokgenin 20 köşegeni varsa kaç kenarlıdır? Orta
Çözümn(n − 3)/2 = 20 → n² − 3n − 40 = 0 → n = 8.
3. Neden düzgün sekizgenler tek başına düzlemi kaplayamaz, ama kareyle birlikte kaplayabilir? Zor
Çözümİç açı 135°; 360/135 tam sayı değildir. Bir köşede iki sekizgen (270°) ve bir kare (90°) birleşirse toplam 360° olur.
Sık yapılan hatalar
- İç açılar toplamında n · 180° kullanmak.
- Eşkenar dörtgeni düzgün çokgen sanmak.
- Köşegen sayısında ikiye bölmeyi unutmak.
Biliyor muydun?
Satürn’ün kuzey kutbunda yaklaşık 30 000 km genişliğinde dev bir altıgen bulut deseni vardır; bilim insanları onu ilk kez Voyager sondalarıyla gördü!