Yönlü açı, derece ve radyan (π rad = 180°), esas ölçü; birim çember ve trigonometrik fonksiyonların tanımı (cos x apsis, sin x ordinat, tan x, cot x); dik üçgende trigonometrik oranlarla bağlantı; özel açıların değerleri; bölgelere göre işaretler; sin²x + cos²x = 1 ve diğer temel özdeşlikler; tanım ve görüntü kümeleri.
Açı ölçüleri ve esas ölçü
Yönlü açı: Saat yönünün tersi pozitif (+), saat yönü negatif (−) kabul edilir.
Derece ve radyan:
- Radyan: Yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açı = 1 radyan
- Tam tur = 360° = 2π radyan → π rad = 180°
- Dönüşüm: D / 180 = R / π
| Derece | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radyan | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
Esas ölçü: Bir açının [0°, 360°) aralığındaki karşılığı → 360°’nin katları atılır.
- 750° → 750 − 2 · 360 = 30° · −100° → −100 + 360 = 260° · 17π/3 → 17π/3 − 4π = 5π/3
Birim çember ve trigonometrik fonksiyonlar
Birim çember: Merkezi orijin, yarıçapı 1 olan çember. Pozitif x ekseniyle x açısı yapan yarıçapın çember üzerindeki noktası P(cos x, sin x)’tir.
- cos x → P’nin apsisi (x koordinatı)
- sin x → P’nin ordinatı (y koordinatı)
- tan x = sin x / cos x (cos x ≠ 0) · cot x = cos x / sin x (sin x ≠ 0)
Dik üçgenle bağlantı (dar açılar): sin = karşı/hipotenüs · cos = komşu/hipotenüs · tan = karşı/komşu
Görüntü kümesi: −1 ≤ sin x ≤ 1, −1 ≤ cos x ≤ 1 · tan ve cot tüm reel sayıları alabilir.
Bölgelere göre işaret:
| Bölge | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| I (0°–90°) | + | + | + |
| II (90°–180°) | + | − | − |
| III (180°–270°) | − | − | + |
| IV (270°–360°) | − | + | − |
Özel açılar ve temel özdeşlikler
| x | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan x | 0 | √3/3 | 1 | √3 | tanımsız |
Temel özdeşlik: Birim çemberde P(cos x, sin x) için Pisagor: sin²x + cos²x = 1
- tan x · cot x = 1
- 1 + tan²x = 1 / cos²x
Tümler açılar: sin(90° − x) = cos x · cos(90° − x) = sin x
Örnek: sin x = 3/5 ve x dar açı ise cos x = √(1 − 9/25) = 4/5, tan x = 3/4
Kavramlar
- radyan
- yarıçap uzunluğunda yayı gören açı
- esas ölçü
- 0°–360° arasındaki karşılık
- birim çember
- yarıçapı 1 olan çember
- apsis
- x koordinatı
- ordinat
- y koordinatı
- π radyan = 180°; D/180 = R/π
- Esas ölçü: [0°, 360°) aralığındaki karşılık
- Birim çemberde P(cos x, sin x)
- sin ve cos değerleri [−1, 1] aralığında
- İşaretler: I tümü +, II sin +, III tan +, IV cos +
- sin²x + cos²x = 1
Örnek soru ve çözümü
Birim çemberde 30°’lik açının belirttiği P noktasının koordinatları nedir? sin 150° ve cos 150° kaçtır?
P(√3/2, 1/2). 150° ikinci bölgededir ve 30°’nin y eksenine göre simetriğidir: sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2.
Çözümlü örnekler
1. 120° kaç radyandır? Kolay
Çözüm120 · π/180 = 2π/3.
2. −420°’nin esas ölçüsü kaçtır? Orta
Çözüm−420 + 720 = 300°.
3. cos x = −5/13 ve x ikinci bölgede ise sin x ve tan x kaçtır? Zor
Çözümsin x = √(1 − 25/169) = 12/13 (II. bölgede +). tan x = (12/13)/(−5/13) = −12/5.
Sık yapılan hatalar
- cos’u ordinat, sin’i apsis sanmak.
- Esas ölçüde negatif açıya 360° eklemeyi unutmak.
- Bölge işaretlerini karıştırmak.
Biliyor muydun?
“Sinüs” kelimesi Sanskritçe “jya” (yay kirişi) kelimesinin Arapçaya “cîb” olarak aktarılması ve Latinceye yanlışlıkla “sinus” (kıvrım, koy) diye çevrilmesiyle ortaya çıkmıştır!