Dörtgenin elemanları, iç ve dış açılar toplamı, köşegenler; dışbükey ve içbükey dörtgen; özel dörtgenler: yamuk (ikizkenar, dik), paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare, deltoid ve kenar, açı, köşegen özellikleri; özel dörtgenler arasındaki kapsama ilişkileri (hiyerarşi); alan formülleri ve ispat fikirleri.
Dörtgenin temel özellikleri
Dörtgen: Dört kenarı ve dört köşesi olan çokgen (ABCD)
- İç açılar toplamı = 360° (bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır: 2 · 180°)
- Dış açılar toplamı = 360°
- Köşegen sayısı = 2 ([AC] ve [BD])
- Dışbükey (konveks): Tüm iç açılar 180°’den küçük, köşegenler dörtgenin içinde kesişir.
- İçbükey (konkav): Bir iç açı 180°’den büyük; bir köşegen dışarıda kalır.
Ardışık iki kenarın orta noktalarını birleştirmek: Herhangi bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirilirse paralelkenar oluşur (Varignon paralelkenarı).
Özel dörtgenler
| Dörtgen | Kenarlar | Açılar | Köşegenler |
|---|---|---|---|
| Yamuk | En az bir çift karşılıklı kenar paralel (tabanlar) | Paralel kenarlar arasındaki komşu açılar bütünler | — |
| İkizkenar yamuk | Paralel olmayan kenarlar eşit | Taban açıları eşit | Eşit |
| Paralelkenar | Karşılıklı kenarlar paralel ve eşit | Karşılıklı açılar eşit, komşu açılar bütünler | Birbirini ortalar |
| Eşkenar dörtgen | Dört kenar eşit | Karşılıklı açılar eşit | Birbirini dik ortalar, açıortaydır |
| Dikdörtgen | Karşılıklı kenarlar eşit | Dört açı 90° | Eşit, birbirini ortalar |
| Kare | Dört kenar eşit | Dört açı 90° | Eşit, dik, birbirini ortalar |
| Deltoid | İki çift komşu kenar eşit | Eşit kenarlar arasındaki açılar eşit | Dik; biri diğerini ortalar |
Alanlar: Paralelkenar a · h · Yamuk (a + c) · h / 2 · Eşkenar dörtgen ve deltoid (e · f) / 2 · Dikdörtgen a · b · Kare a²
Özel dörtgenler arasındaki ilişkiler
Özel dörtgenler birbirinin özel durumlarıdır:
- Kare, hem bir dikdörtgen hem de bir eşkenar dörtgendir.
- Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen, birer paralelkenardır.
- Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olduğu için (kapsayıcı tanımla) bir yamuktur.
- Eşkenar dörtgen, bir deltoiddir (iki çift komşu kenarı eşit).
Kapsama zinciri: Kare ⊂ Dikdörtgen ⊂ Paralelkenar ⊂ Yamuk ⊂ Dörtgen · Kare ⊂ Eşkenar dörtgen ⊂ Paralelkenar
İspat fikri: Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgen paralelkenardır → Köşegenler kesişim noktasında oluşan karşılıklı üçgenler eşlik (KAK) ile eşittir, buradan iç ters açılar eşit, kenarlar paraleldir.
Kavramlar
- yamuk
- en az bir çift paralel kenarlı dörtgen
- paralelkenar
- karşılıklı kenarları paralel dörtgen
- eşkenar dörtgen
- dört kenarı eşit dörtgen
- deltoid
- iki çift komşu kenarı eşit dörtgen
- köşegen
- komşu olmayan köşeleri birleştiren doğru parçası
- Dörtgende iç ve dış açılar toplamı 360°
- Paralelkenar: karşılıklı kenarlar paralel ve eşit, köşegenler birbirini ortalar
- Eşkenar dörtgen: köşegenler dik; dikdörtgen: köşegenler eşit
- Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen
- Deltoid: köşegenler dik, alan e·f/2
- Yamuk alanı (a + c)·h/2
Örnek soru ve çözümü
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri 12 cm ve 16 cm’dir. Alanı ve bir kenar uzunluğu kaçtır?
Alan = (12 · 16)/2 = 96 cm². Köşegenler birbirini dik ortaladığı için 6 ve 8 dik kenarlı dik üçgen oluşur: kenar = √(36 + 64) = 10 cm.
Çözümlü örnekler
1. Bir dörtgenin üç iç açısı 80°, 95°, 110° ise dördüncü açı kaçtır? Kolay
Çözüm360 − 285 = 75°.
2. Paralelkenarın bir açısı 3x + 10, komşu açısı 2x + 20 ise x kaçtır? Orta
ÇözümKomşu açılar bütünler: 5x + 30 = 180 → x = 30.
3. Köşegenleri eşit ve birbirini dik ortalayan dörtgen hangisidir? Neden? Zor
ÇözümKare. Birbirini ortalayan köşegenler paralelkenar, eşit köşegenler dikdörtgen, dik köşegenler eşkenar dörtgen verir; üçü birlikte kareyi tanımlar.
Sık yapılan hatalar
- Her paralelkenarın köşegenlerinin eşit olduğunu sanmak.
- Karenin dikdörtgen olmadığını düşünmek.
- Yamuk alanında tabanları toplamadan çarpmak.
Biliyor muydun?
Kâğıttan bir paralelkenar kesip bir köşesinden dik bir üçgen kesip öbür tarafa eklersen aynı alana sahip bir dikdörtgen elde edersin; paralelkenar alanının a · h olmasının görsel ispatı budur!