Fonksiyonlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme; ortak tanım kümesi ve bölmede payda ≠ 0 koşulu; tablo ve grafikle işlemler; bileşke fonksiyon (f∘g)(x) = f(g(x)), tanım kümesi; bileşkenin değişme özelliğinin olmaması, birleşme özelliği; birim fonksiyon ve ters fonksiyonla bileşke; günlük hayat problemleri (gelir-maliyet-kâr, birim dönüşümleri, indirim ve vergi zinciri).
Fonksiyonlarda dört işlem
f ve g fonksiyonları için ortak tanım kümesinde:
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f − g)(x) = f(x) − g(x)
- (f · g)(x) = f(x) · g(x)
- (f / g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0
Örnek: f(x) = 2x + 1, g(x) = x − 3
- (f + g)(x) = 3x − 2 · (f · g)(x) = 2x² − 5x − 3
- (f / g)(x) = (2x + 1)/(x − 3), x ≠ 3
Gelir-maliyet-kâr: Bir atölyede x adet ürün için gelir G(x) = 50x, maliyet M(x) = 20x + 600 ise kâr K(x) = (G − M)(x) = 30x − 600 → Kâra geçmek için x > 20 adet satılmalı.
Bileşke fonksiyon
Bileşke: Bir fonksiyonun çıktısını diğerine girdi olarak verme
(f∘g)(x) = f(g(x)) → önce g, sonra f uygulanır.
Örnek: f(x) = x², g(x) = x + 3
- (f∘g)(x) = f(x + 3) = (x + 3)²
- (g∘f)(x) = g(x²) = x² + 3
→ f∘g ≠ g∘f: Bileşkenin değişme özelliği yoktur.
Özellikler:
- Birleşme: (f∘g)∘h = f∘(g∘h)
- Birim fonksiyon I(x) = x: f∘I = I∘f = f
- Ters fonksiyon: f∘f⁻¹ = f⁻¹∘f = I
- (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹
Değer bulma: f(x) = 3x − 1, g(x) = x² + 1 → (f∘g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 14
Günlük hayatta bileşke
İndirim ve vergi zinciri: Bir ürüne önce %20 indirim g(x) = 0,8x, sonra %10 vergi f(x) = 1,1x uygulanırsa:
(f∘g)(x) = 1,1 · 0,8x = 0,88x → 500 TL’lik ürün 440 TL
Birim dönüşümleri: °C → °F: F(c) = 1,8c + 32 · °F → K: K(f) = (f − 32)/1,8 + 273,15 → bileşke °C → K: c + 273,15
Grafik ve tablodan bileşke:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| g(x) | 2 | 3 | 0 | 1 |
| f(x) | 1 | 4 | 2 | 0 |
→ (f∘g)(0) = f(g(0)) = f(2) = 2 · (g∘f)(1) = g(f(1)) = g(4)? tabloda yok → tanımsız
⚠️ (f∘g)(x) tanımlı olması için g(x) değerinin f’nin tanım kümesinde olması gerekir.
Kavramlar
- bileşke
- bir fonksiyonun çıktısını diğerine girdi yapma
- birim fonksiyon
- I(x) = x
- ortak tanım kümesi
- iki fonksiyonun birlikte tanımlı olduğu küme
- başa baş noktası
- gelirin maliyete eşit olduğu nokta
- ters fonksiyon
- işlemi geri alan fonksiyon
- (f ± g)(x), (f · g)(x) ortak tanım kümesinde
- (f / g)(x) için g(x) ≠ 0
- (f∘g)(x) = f(g(x)): önce g, sonra f
- Bileşkede değişme özelliği yok, birleşme var
- f∘f⁻¹ = I (birim fonksiyon)
- Kâr = gelir − maliyet; indirim-vergi zinciri bileşkedir
Örnek soru ve çözümü
Grafiğe göre atölyenin başa baş noktası nedir? 30 ürün satılırsa kâr kaç TL olur?
50x = 20x + 600 → x = 20, gelir 1000 TL. K(30) = 30 · 30 − 600 = 300 TL.
Çözümlü örnekler
1. f(x) = x + 4, g(x) = 2x ise (f∘g)(3) kaçtır? Kolay
Çözümg(3) = 6, f(6) = 10.
2. f(x) = 2x − 1 ve g(x) = x² ise (g∘f)(x) nedir? Orta
Çözüm(2x − 1)² = 4x² − 4x + 1.
3. f(x) = 3x + 2 ve (f∘g)(x) = 6x − 7 ise g(x) nedir? Zor
Çözüm3g(x) + 2 = 6x − 7 → g(x) = 2x − 3.
Sık yapılan hatalar
- (f∘g)(x)’te önce f’yi uygulamak.
- f∘g ile f · g’yi karıştırmak.
- (f / g) için paydanın sıfır olduğu noktaları dışlamamak.
Biliyor muydun?
Bir telefondaki fotoğraf filtresi aslında fonksiyonların bileşkesidir: Önce parlaklık, sonra kontrast, sonra renk fonksiyonu uygulanır — sırayı değiştirmek farklı bir fotoğraf verir!