Logaritma fonksiyonu f(x) = logₐ x: tanım kümesi (0, ∞), (1, 0) noktası, x = 0 dikey asimptotu, artanlık-azalanlık; logaritmanın özellikleri (çarpım, bölüm, üs kuralları, taban değiştirme, a^(logₐ x) = x); üstel ve logaritmik denklemler; üstel ve logaritmik eşitsizlikler (taban 0 ile 1 arasında yön değişir); uygulamalar: pH, deprem büyüklüğü, ses şiddeti (dB), bileşik faizde süre.
Logaritma fonksiyonu ve özellikleri
f(x) = logₐ x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)
- Tanım kümesi (0, ∞) · görüntü kümesi ℝ
- Grafik (1, 0) noktasından geçer; x = 0 (y ekseni) dikey asimptottur.
- a > 1 → artan · 0 < a < 1 → azalan
Özellikler:
| Kural | Örnek |
|---|---|
| logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y | log 20 + log 5 = log 100 = 2 |
| logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y | log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ 16 = 4 |
| logₐ xⁿ = n · logₐ x | log₃ 81 = 4 · log₃ 3 = 4 |
| Taban değiştirme: logₐ x = log x / log a | log₈ 32 = log₂ 32 / log₂ 8 = 5/3 |
| logₐ a = 1, logₐ 1 = 0, a^(logₐ x) = x | 7^(log₇ 5) = 5 |
Üstel ve logaritmik denklemler
Üstel denklemler: Tabanları eşitle → üsleri eşitle
- 2ˣ = 32 → 2ˣ = 2⁵ → x = 5
- 9ˣ⁺¹ = 27 → 3^(2x+2) = 3³ → 2x + 2 = 3 → x = 1/2
- Tabanlar eşitlenemezse logaritma alınır: 3ˣ = 7 → x = log₃ 7 = log 7 / log 3 ≈ 1,77
Logaritmik denklemler: Tanıma göre üstel biçime çevir, x > 0 koşulunu kontrol et
- log₂ (x − 1) = 3 → x − 1 = 8 → x = 9 ✓
- log x + log (x − 3) = 1 → log (x² − 3x) = 1 → x² − 3x − 10 = 0 → x = 5 veya x = −2 → x = −2 sağlamaz (logaritmanın içi negatif olur) → x = 5
Eşitsizlikler ve uygulamalar
Eşitsizlikler:
- a > 1: Fonksiyon artan → yön korunur: 2ˣ > 8 → x > 3; log₃ x < 2 → 0 < x < 9
- 0 < a < 1: Fonksiyon azalan → yön değişir: (1/2)ˣ > 1/8 → x < 3
- Logaritmalı eşitsizlikte tanım kümesini (içi > 0) unutma.
Uygulamalar:
| Alan | Logaritmik ölçek |
|---|---|
| pH | pH = −log [H⁺]; [H⁺] = 10⁻³ → pH = 3 |
| Deprem büyüklüğü | 1 birim artış ≈ 10 kat genlik, ≈ 32 kat enerji |
| Ses şiddeti (dB) | 10 dB artış = şiddet 10 kat |
| Bileşik faiz süresi | 1000 · 1,1ᵗ = 2000 → t = log 2 / log 1,1 ≈ 7,3 yıl |
Kavramlar
- logaritma
- bir sayının kaçıncı kuvvet olduğu
- onluk logaritma
- tabanı 10 olan log
- doğal logaritma
- tabanı e olan ln
- taban değiştirme
- logaritmayı başka tabana çevirme
- logaritmik ölçek
- her birimin 10 kat temsil ettiği ölçek
- logₐ x için x > 0; grafik (1, 0)’dan geçer
- Çarpım toplama, bölüm çıkarmaya, üs çarpana dönüşür
- Taban değiştirme: logₐ x = log x / log a
- Üstel denklemde tabanları eşitle
- Logaritmik denklemde x > 0 koşulunu kontrol et
- 0 < a < 1 tabanında eşitsizliğin yönü değişir
Örnek soru ve çözümü
Grafiğe göre log₂ x fonksiyonu hangi noktalardan geçer? log₂ x = −1 ise x kaçtır?
(1, 0) ve (2, 1) noktalarından geçer. log₂ x = −1 → x = 2⁻¹ = 1/2.
Çözümlü örnekler
1. log₅ 125 kaçtır? Kolay
Çözüm3.
2. 4ˣ = 8 denklemini çözünüz. Orta
Çözüm2^(2x) = 2³ → x = 3/2.
3. 7,0 büyüklüğündeki bir deprem 5,0 büyüklüğündekinden yaklaşık kaç kat fazla enerji açığa çıkarır? Zor
ÇözümHer birim yaklaşık 32 kat: 32² ≈ 1000 kat.
Sık yapılan hatalar
- log(x + y)’yi log x + log y sanmak.
- Logaritmik denklemde negatif kökü kontrol etmeden kabul etmek.
- (1/2)ˣ > 1/8 eşitsizliğinde yönü değiştirmemek.
Biliyor muydun?
Logaritmayı 1614’te John Napier yayımladı; hesap makinesi icat edilmeden önce gökbilimciler büyük çarpmaları logaritma tablolarıyla toplamaya çevirerek hızla hesaplıyordu!