Üstel fonksiyon f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1) ve grafikleri; a > 1 için artan, 0 < a < 1 için azalan; (0, 1) noktası, y = 0 yatay asimptotu, tanım ve görüntü kümesi; üstel büyüme ve azalma modelleri (nüfus, bakteri, bileşik faiz, radyoaktif bozunma, yarılanma ömrü); e sayısı; üstel fonksiyonun bire bir ve örten oluşu, ters fonksiyonu olarak logaritma: y = aˣ ⇔ x = logₐ y.
Üstel fonksiyon ve grafiği
Üstel fonksiyon: f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1) → değişken üstte
| Özellik | a > 1 (ör. 2ˣ) | 0 < a < 1 (ör. (1/2)ˣ) |
|---|---|---|
| Davranış | Artan | Azalan |
| Ortak nokta | (0, 1) | (0, 1) |
| Tanım kümesi | ℝ | ℝ |
| Görüntü kümesi | (0, ∞) | (0, ∞) |
| Asimptot | y = 0 (x → −∞) | y = 0 (x → +∞) |
⚠️ aˣ hiçbir zaman 0 veya negatif olmaz.
y = 2ˣ ve y = (1/2)ˣ grafikleri y eksenine göre simetriktir.
Üstel büyüme ve azalma
Genel model: A(t) = A₀ · rᵗ
- r > 1 → büyüme: Nüfus, bakteri, bileşik faiz
- 0 < r < 1 → azalma: Radyoaktif bozunma, ilaç etkisinin azalması, değer kaybı
Örnekler:
- Her saat ikiye katlanan 100 bakteri: B(t) = 100 · 2ᵗ → 5 saat sonra 100 · 32 = 3200
- Yıllık %10 faizle 1000 TL (bileşik): P(t) = 1000 · (1,1)ᵗ → 2 yıl sonra 1210 TL
- Yarılanma ömrü 8 gün olan 80 g iyot-131: M(t) = 80 · (1/2)^(t/8) → 24 gün sonra 80 · 1/8 = 10 g
e sayısı (≈ 2,718): Sürekli büyüme modellerinde kullanılan doğal taban → y = eˣ
Üstel fonksiyonun tersi: logaritma
f(x) = aˣ fonksiyonu ℝ’den (0, ∞)’a bire bir ve örten olduğu için tersi vardır.
Ters fonksiyon: f⁻¹(x) = logₐ x
y = aˣ ⇔ x = logₐ y (“a’nın kaçıncı kuvveti y’dir?”)
| Üstel | Logaritmik |
|---|---|
| 2³ = 8 | log₂ 8 = 3 |
| 10² = 100 | log 100 = 2 |
| 5⁰ = 1 | log₅ 1 = 0 |
| 3⁻² = 1/9 | log₃ (1/9) = −2 |
Grafik: y = aˣ ile y = logₐ x grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Özel tabanlar: log x = log₁₀ x (onluk logaritma) · ln x = logₑ x (doğal logaritma)
Kavramlar
- üstel fonksiyon
- değişkeni üste olan fonksiyon
- asimptot
- grafiğin yaklaştığı ama değmediği doğru
- yarılanma ömrü
- maddenin yarısının bozunma süresi
- bileşik faiz
- faizin faizine de faiz işlemesi
- ters fonksiyon
- fonksiyonun işlemini geri alan fonksiyon
- f(x) = aˣ, a > 0, a ≠ 1
- a > 1 artan, 0 < a < 1 azalan; hepsi (0, 1)’den geçer
- Görüntü kümesi (0, ∞), asimptot y = 0
- Büyüme A₀·rᵗ (r > 1), azalma (0 < r < 1)
- Yarılanma: (1/2)^(t/T)
- Tersi logaritma: y = aˣ ⇔ x = logₐ y; grafikler y = x’e göre simetrik
Örnek soru ve çözümü
Grafiğe göre y = 2ˣ ile y = (1/2)ˣ hangi ortak noktadan geçer? x = 2 için değerleri kaçtır?
İkisi de (0, 1)’den geçer. x = 2 için 2² = 4 ve (1/2)² = 1/4.
Çözümlü örnekler
1. f(x) = 3ˣ ise f(−2) kaçtır? Kolay
Çözüm3⁻² = 1/9.
2. Değeri her yıl %20 azalan 50 000 TL’lik bir aracın 2 yıl sonraki değeri kaçtır? Orta
Çözüm50 000 · 0,8² = 32 000 TL.
3. Yarılanma ömrü 5730 yıl olan karbon-14’ün bir fosilde başlangıç miktarının 1/4’ü kalmışsa fosil kaç yaşındadır? Zor
Çözüm(1/2)^(t/5730) = 1/4 = (1/2)² → t = 2 · 5730 = 11 460 yıl.
Sık yapılan hatalar
- aˣ’in negatif değer alabileceğini sanmak.
- 2ˣ ile x²’yi karıştırmak.
- Azalma oranını (%20) doğrudan çarpan olarak kullanmak (doğrusu 0,8).
Biliyor muydun?
Bir satranç tahtasının ilk karesine 1, ikincisine 2, üçüncüsüne 4 buğday tanesi koyarak her karede ikiye katlarsan, 64. karede yaklaşık 9 kentilyon tane gerekir — dünyanın yüzyıllık buğday üretiminden fazla!