sin x, cos x ve tan x fonksiyonlarının grafikleri; periyot, genlik, en büyük-en küçük değer, artanlık-azalanlık, simetri; y = a·sin(bx) + c biçimindeki fonksiyonlarda genlik, periyot ve kayma; temel trigonometrik denklemler (sin x = a, cos x = a, tan x = a) ve genel çözümleri; dönme dolap, gel-git ve ses dalgası gibi periyodik olay problemleri.
Grafikler ve periyot
Periyodik fonksiyon: Değerlerini belli aralıklarla tekrarlayan fonksiyon; en küçük tekrar aralığına periyot denir.
| Fonksiyon | Periyot | En büyük / en küçük | Not |
|---|---|---|---|
| sin x | 2π | 1 / −1 | (0, 0)’dan geçer; tek fonksiyon (orijine göre simetrik) |
| cos x | 2π | 1 / −1 | (0, 1)’den geçer; çift fonksiyon (y eksenine göre simetrik) |
| tan x | π | yok | x = π/2 + kπ’de dikey asimptot |
Artanlık-azalanlık: sin x, [0, π/2]’de artan, [π/2, 3π/2]’de azalan · cos x, [0, π]’de azalan, [π, 2π]’de artan
y = a·sin(bx) + c dönüşümleri
| Parametre | Etki | Örnek | ||
|---|---|---|---|---|
| a (genlik) | Grafiği dikey uzatır; en büyük değer ** | a | ** | y = 3 sin x → −3 ile 3 arası |
| b | Periyodu değiştirir: **T = 2π / | b | ** | y = sin 2x → periyot π |
| c | Grafiği yukarı/aşağı kaydırır | y = sin x + 2 → 1 ile 3 arası |
Örnek: y = 2 sin(3x) − 1 → genlik 2, periyot 2π/3, en büyük 1, en küçük −3
Dönme dolap problemi: Yarıçapı 20 m, merkezi yerden 22 m yükseklikte olan ve bir turu 10 dakikada tamamlayan dönme dolapta yolcunun yüksekliği:
h(t) = 22 − 20 cos(2πt / 10) (t dakika, en altta biniyor)
→ En alçak 2 m, en yüksek 42 m, periyot 10 dk
Temel trigonometrik denklemler
| Denklem | Genel çözüm (k ∈ ℤ) |
|---|---|
| sin x = sin α | x = α + 2kπ veya x = π − α + 2kπ |
| cos x = cos α | x = ±α + 2kπ |
| tan x = tan α | x = α + kπ |
Örnekler:
- sin x = 1/2 → α = π/6 → x = π/6 + 2kπ veya 5π/6 + 2kπ · [0, 2π)’de: π/6, 5π/6
- cos x = −1/2 → α = 2π/3 → x = ±2π/3 + 2kπ · [0, 2π)’de: 2π/3, 4π/3
- tan x = 1 → x = π/4 + kπ · [0, 2π)’de: π/4, 5π/4
- 2 sin x − √3 = 0 → sin x = √3/2 → π/3, 2π/3
⚠️ sin x = 2 gibi denklemlerin çözümü yoktur (görüntü kümesi [−1, 1]).
Kavramlar
- periyot
- tekrar aralığı
- genlik
- en büyük sapma miktarı
- asimptot
- grafiğin yaklaştığı doğru
- genel çözüm
- tüm çözümleri veren ifade
- periyodik
- düzenli tekrar eden
- sin ve cos periyodu 2π, tan periyodu π
- sin tek, cos çift fonksiyon
- y = a sin(bx) + c: genlik |a|, periyot 2π/|b|, kayma c
- sin x = sin α → α + 2kπ veya π − α + 2kπ
- cos x = cos α → ±α + 2kπ; tan x = tan α → α + kπ
- |a| > 1 ise sin x = a çözümsüz
Örnek soru ve çözümü
Grafiğe göre [0, 2π] aralığında sin x = cos x olan noktalar yaklaşık hangi x değerleridir? Tam değerlerini bulunuz.
Grafikler yaklaşık x ≈ 0,79 ve x ≈ 3,93’te kesişir. tan x = 1 → x = π/4 ve 5π/4.
Çözümlü örnekler
1. y = sin 4x fonksiyonunun periyodu kaçtır? Kolay
Çözüm2π/4 = π/2.
2. y = 5 cos x + 2 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değeri kaçtır? Orta
ÇözümEn büyük 7, en küçük −3.
3. [0, 2π) aralığında 2cos²x − cos x − 1 = 0 denklemini çözünüz. Zor
Çözüm(2 cos x + 1)(cos x − 1) = 0 → cos x = −1/2 veya cos x = 1 → x = 0, 2π/3, 4π/3.
Sık yapılan hatalar
- sin x = sin α’nın yalnızca x = α çözümünü yazmak.
- Periyodu 2π · |b| olarak hesaplamak.
- tan’ın periyodunu 2π sanmak.
Biliyor muydun?
Deniz kıyısındaki gel-git, ses dalgaları, alternatif akım ve hatta kalp atışı grafikleri sinüs eğrilerine benzer; trigonometri tekrar eden her olayın dilidir!