Eğri altındaki alanın dikdörtgenlerle yaklaşık hesaplanması (Riemann toplamı; alt ve üst toplam, sol ve sağ uç); belirli integralin tanımı ve gösterimi; integral hesabın temel teoremi ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a); belirli integralin özellikleri (sınırların yer değiştirmesi, aralığın bölünmesi, toplam ve sabitle çarpım); fonksiyon grafiği ile x ekseni arasındaki alan (eğri eksenin altındaysa işaret); iki eğri arasındaki alan; hız-zaman grafiğinden yol hesabı.
Riemann toplamı: alanı dikdörtgenlerle yaklaşmak
Fikir: Eğri altındaki alanı eşit genişlikli dikdörtgenlere bölüp toplamak
Örnek: y = x² eğrisinin [0, 2] aralığında altındaki alan, 4 dikdörtgenle (genişlik 0,5)
- Sağ uç yükseklikleri: 0,25 · 1 · 2,25 · 4 → toplam (0,25 + 1 + 2,25 + 4) · 0,5 = 3,75 (fazla)
- Sol uç yükseklikleri: 0 · 0,25 · 1 · 2,25 → toplam 3,5 · 0,5 = 1,75 (eksik)
- Gerçek alan bu iki değerin arasındadır: 8/3 ≈ 2,67
Dikdörtgen sayısı arttıkça (genişlik → 0) alt ve üst toplamlar aynı değere yaklaşır → bu değer belirli integraldir:
∫₀² x² dx = 8/3
Bernhard Riemann (19. yy) bu yaklaşımı kesin bir tanıma dönüştürdü; bu yüzden bu toplamlara Riemann toplamı denir.
Temel teorem ve özellikler
İntegral hesabın temel teoremi: F′ = f ise ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
→ Türev ile integralin ters işlemler olduğunu gösterir (Newton ve Leibniz).
Örnekler:
- ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3
- ∫₁³ (2x + 1) dx = [x² + x]₁³ = (9 + 3) − (1 + 1) = 10
- ∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = 1 − (−1) = 2
Özellikler:
| Özellik | Formül |
|---|---|
| Aynı sınır | ∫ₐᵃ f dx = 0 |
| Sınır değişimi | ∫ₐᵇ f dx = −∫ᵦᵃ f dx |
| Aralığı bölme | ∫ₐᶜ f dx = ∫ₐᵇ f dx + ∫ᵦᶜ f dx |
| Toplam, sabit | ∫ₐᵇ (k·f ± g) dx = k∫ₐᵇ f dx ± ∫ₐᵇ g dx |
💡 Belirli integralde C yazılmaz; F(b) − F(a) farkında sadeleşir.
Alan hesabı ve uygulamalar
Eğri ile x ekseni arasındaki alan:
- f(x) ≥ 0 ise alan = ∫ₐᵇ f(x) dx
- f(x) ≤ 0 ise integral negatif çıkar → alan = −∫ₐᵇ f(x) dx
- Eğri ekseni kesiyorsa aralık köklerden bölünür, alanlar ayrı ayrı pozitif alınıp toplanır.
- y = x² − 4, [0, 2] → ∫ = [x³/3 − 4x]₀² = 8/3 − 8 = −16/3 → alan 16/3
İki eğri arasındaki alan: Alan = ∫ₐᵇ [üstteki − alttaki] dx
- y = x ve y = x² eğrileri x = 0 ve x = 1’de kesişir; [0, 1]’de x ≥ x²
- Alan = ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6
Fizik: Hız-zaman grafiğinin altındaki alan alınan yolu verir.
- v(t) = 3t² m/s ise ilk 2 saniyede alınan yol ∫₀² 3t² dt = [t³]₀² = 8 m
Kavramlar
- belirli integral
- sınırları verilmiş integral, bir sayı
- Riemann toplamı
- dikdörtgen alanlarının toplamı
- temel teorem
- türev ve integralin ters olduğunu gösteren teorem
- alt toplam
- gerçek alandan küçük yaklaşık toplam
- sınır
- integralin alındığı aralığın uçları
- Riemann toplamı: alanı dikdörtgenlerle yaklaşmak
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) (temel teorem)
- ∫ₐᵃ f = 0; sınırlar yer değişince işaret değişir
- Eksenin altındaki alan için integralin mutlak değeri
- İki eğri arası alan: ∫ (üst − alt) dx
- Hız-zaman grafiği altındaki alan = alınan yol
Örnek soru ve çözümü
Grafikte y = x² eğrisi ve sağ uç dikdörtgenleri gösterilmiştir. Dikdörtgen toplamı ile gerçek alanı karşılaştırınız.
Genişlik 0,5 ve sağ uç yükseklikleri 0,25; 1; 2,25; 4 olduğundan toplam 7,5 · 0,5 = 3,75’tir. Gerçek alan ∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2,67’dir. Artan fonksiyonda sağ uç dikdörtgenleri eğrinin üstüne taştığı için toplam gerçek alandan büyüktür; dikdörtgen sayısı arttıkça fark azalır.
Çözümlü örnekler
1. ∫₀³ 2x dx kaçtır? Kolay
Çözüm[x²]₀³ = 9.
2. ∫₋₁² (3x² − 2) dx kaçtır? Orta
Çözüm[x³ − 2x]₋₁² = (8 − 4) − (−1 + 2) = 4 − 1 = 3.
3. y = 4 − x² eğrisi ile x ekseni arasında kalan alanı bulunuz. Zor
ÇözümEğri x ekseninin x = −2 ve x = 2’de keser ve arada pozitiftir. Alan = ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³/3]₋₂² = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3.
Sık yapılan hatalar
- Eksenin altındaki alanı negatif bırakmak.
- Belirli integralde F(a) − F(b) yazmak (doğrusu F(b) − F(a)).
- İki eğri arası alanda hangisinin üstte olduğunu kontrol etmemek.
Biliyor muydun?
Arşimet, 2200 yıldan önce paraboldeki alanı sonsuz sayıda üçgenle “tüketerek” hesapladı; bu yöntem integralin en eski atalarından biri sayılır!