İntegral kavramı ve türevin tersi olarak ilkel (ters türev) fonksiyon; integral sabiti C; belirsiz integralin özellikleri; temel integral kuralları (∫xⁿ dx, ∫k dx, sabitle çarpım, toplam-fark); ∫(1/x) dx, ∫eˣ dx, ∫sin x dx, ∫cos x dx; değişken değiştirme yöntemi; başlangıç koşuluyla integral sabitinin bulunması; hızdan konuma, eğimden eğriye geçiş problemleri.
Ters türev ve belirsiz integral
İlkel (ters türev): F′(x) = f(x) ise F, f’nin ilkel fonksiyonudur.
- x² + 5, x² − 1, x² + 100 → hepsinin türevi 2x
→ ∫ f(x) dx = F(x) + C (C: integral sabiti)
Temel kurallar:
| Kural | Formül | ||
|---|---|---|---|
| Sabit | ∫ k dx = kx + C | ||
| Kuvvet | ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C (n ≠ −1) | ||
| Sabitle çarpım | ∫ k · f(x) dx = k ∫ f(x) dx | ||
| Toplam / fark | ∫ (f ± g) dx = ∫ f dx ± ∫ g dx | ||
| 1/x | ∫ (1/x) dx = ln | x | + C |
| Üstel | ∫ eˣ dx = eˣ + C | ||
| Trigonometrik | ∫ cos x dx = sin x + C · ∫ sin x dx = −cos x + C |
Kontrol: Sonucun türevini al → integralin içindeki fonksiyona eşit olmalı.
Kurallarla integral alma
Örnekler:
- ∫ (6x² − 4x + 5) dx = 6 · x³/3 − 4 · x²/2 + 5x + C = 2x³ − 2x² + 5x + C
- ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = (2/3) x^(3/2) + C
- ∫ (1/x³) dx = ∫ x⁻³ dx = x⁻² / (−2) + C = −1 / (2x²) + C
- ∫ (x + 1)² dx = ∫ (x² + 2x + 1) dx = x³/3 + x² + x + C
Değişken değiştirme (zincir kuralının tersi):
- ∫ 2x · (x² + 1)³ dx → u = x² + 1, du = 2x dx → ∫ u³ du = u⁴/4 + C = (x² + 1)⁴ / 4 + C
- ∫ 3x² · cos(x³) dx → u = x³ → sin(x³) + C
- ∫ (2x + 3)⁵ dx → u = 2x + 3, du = 2 dx → (1/2) ∫ u⁵ du = (2x + 3)⁶ / 12 + C
💡 İntegralin içinde bir ifade ve onun türevi varsa değişken değiştirmeyi dene.
Başlangıç koşulu ve uygulamalar
İntegral sabitini bulma: Bir noktadaki değer verilirse C belirlenir.
- f′(x) = 2x + 3 ve f(0) = 1 → f(x) = x² + 3x + C → f(0) = C = 1 → f(x) = x² + 3x + 1
Eğimden eğriye: Bir eğrinin her noktasındaki teğet eğimi 6x² ve eğri (1, 4) noktasından geçiyor.
- y = ∫ 6x² dx = 2x³ + C → 4 = 2 + C → C = 2 → y = 2x³ + 2
Hızdan konuma: v(t) = 3t² + 2 (m/s) ve s(0) = 5 m
- s(t) = ∫ v(t) dt = t³ + 2t + C → C = 5 → s(t) = t³ + 2t + 5 → s(2) = 8 + 4 + 5 = 17 m
İvmeden hıza: Serbest düşmede a = −10 m/s², ilk hız 0 → v(t) = −10t; ilk yükseklik 80 m → h(t) = 80 − 5t² → yere t = 4 s’de düşer.
Kavramlar
- ilkel fonksiyon
- türevi verilen fonksiyon olan fonksiyon
- integral sabiti
- C ile gösterilen keyfî sabit
- belirsiz integral
- bütün ilkel fonksiyonlar ailesi
- değişken değiştirme
- u = g(x) dönüşümüyle integral alma
- başlangıç koşulu
- C’yi belirleyen bilinen değer
- ∫ f(x) dx = F(x) + C, F′ = f
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1)
- ∫ (1/x) dx = ln|x| + C; ∫ eˣ dx = eˣ + C
- Sonucu türev alarak kontrol et
- Değişken değiştirme: ifade ve türevi birlikte varsa
- Başlangıç koşuluyla C bulunur
Örnek soru ve çözümü
Bir aracın hızı v(t) = 4t + 1 m/s ve başlangıçtaki konumu s(0) = 0’dır. İntegral kullanarak 3. saniyedeki konumu bulunuz.
s(t) = ∫ (4t + 1) dt = 2t² + t + C. s(0) = 0 → C = 0 → s(t) = 2t² + t. s(3) = 18 + 3 = 21 m.
Çözümlü örnekler
1. ∫ 5x⁴ dx nedir? Kolay
Çözümx⁵ + C.
2. ∫ (x² − 1)/x dx nedir? Orta
Çözüm∫ (x − 1/x) dx = x²/2 − ln|x| + C.
3. ∫ x · √(x² + 4) dx nedir? Zor
Çözümu = x² + 4, du = 2x dx → (1/2) ∫ √u du = (1/2)(2/3)u^(3/2) = (1/3)(x² + 4)^(3/2) + C.
Sık yapılan hatalar
- İntegral sabiti C’yi yazmamak.
- ∫ x⁻¹ dx için kuvvet kuralını kullanmak (ln|x| olur).
- Değişken değiştirmede du dönüşümündeki katsayıyı unutmak.
Biliyor muydun?
∫ işareti Leibniz’e aittir ve Latince “summa” (toplam) kelimesinin uzatılmış S harfinden gelir!