Türevin Uygulamaları: Artan-Azalan, Ekstremum, Optimizasyon konu anlatımı

Türevin işareti:

• Bir aralıkta f′(x) > 0 ise f artan
• f′(x) < 0 ise f azalan
• f′(x) = 0 veya f′ tanımsız olan iç noktalar → kritik nokta

Birinci türev testi:

• f′ işareti + → − değişirse yerel maksimum
• f′ işareti − → + değişirse yerel minimum
• İşaret değişmezse ekstremum yoktur (f(x) = x³, x = 0)

Örnek: f(x) = x³ − 3x

• f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) = 0 → x = −1, x = 1
• x < −1: f′ > 0 (artan) · −1 < x < 1: f′ < 0 (azalan) · x > 1: f′ > 0 (artan)
• Yerel maksimum: f(−1) = 2 · Yerel minimum: f(1) = −2

Kapalı aralıkta mutlak ekstremum: [a, b] aralığında sürekli fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

1. Aralıktaki kritik noktaları bul
2. f’yi kritik noktalarda ve uç noktalarda hesapla
3. En büyüğü mutlak maksimum, en küçüğü mutlak minimum

• f(x) = x³ − 3x, [0, 3] → f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18 → mutlak max 18, mutlak min −2

İkinci türev ve konkavlık:

• f″(x) > 0 → eğri yukarı bükük (çukur yukarıda, ∪ biçimi)
• f″(x) < 0 → eğri aşağı bükük (∩ biçimi)
• f″ işaret değiştirirse → büküm noktası
• f(x) = x³ − 3x → f″(x) = 6x → x = 0 büküm noktası

İkinci türev testi: f′(a) = 0 ve f″(a) < 0 ise yerel max; f″(a) > 0 ise yerel min

Adımlar: Değişkeni belirle → büyüklüğü tek değişkenli fonksiyon olarak yaz → türevini sıfıra eşitle → uç değerleri ve şartı denetle

Örnek 1 – En büyük alan: 40 m tel ile çevrilecek dikdörtgen bahçenin en büyük alanı

• Kenarlar x ve 20 − x → A(x) = x(20 − x) = 20x − x²
• A′(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10 → bahçe kare, alan 100 m²

Örnek 2 – En büyük hacim: 12 cm × 12 cm kartonun köşelerinden x cm’lik kareler kesilip üstü açık kutu yapılıyor.

• V(x) = x(12 − 2x)², 0 < x < 6
• V′(x) = (12 − 2x)² − 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 → x = 2 (x = 6 kutu oluşturmaz)
• V(2) = 2 · 8² = 128 cm³

Örnek 3 – En az maliyet / en çok kâr: Kâr K(x) = −x² + 40x − 300 (x: üretim, yüz adet) → K′(x) = −2x + 40 = 0 → x = 20 → en çok kâr K(20) = 100