Dizinin tanımı (pozitif tam sayılardan gerçek sayılara fonksiyon), genel terim ve terimler; bir ifadenin dizi belirtip belirtmediği; sonlu ve sonsuz diziler, sabit dizi, eşit diziler; monoton (artan-azalan) diziler; indirgemeli (rekürsif) diziler ve Fibonacci dizisi, altın oran; aritmetik dizi: ortak fark, genel terim, iki terim arasındaki ilişki, orta terim özelliği, ilk n terim toplamı ve gerçek hayat problemleri.
Dizi kavramı
Dizi: Tanım kümesi pozitif tam sayılar (ℤ⁺), değer kümesi gerçek sayılar olan fonksiyon → (aₙ)
- aₙ: genel terim, a₁: birinci terim, a₂: ikinci terim…
- aₙ = 2n + 1 → 3, 5, 7, 9, … (grafikte noktalar, çizgi değil!)
Dizi olma şartı: Her pozitif tam sayı için terim tanımlı olmalıdır.
- aₙ = 1 / (n − 3) → n = 3 için tanımsız → dizi değildir
- aₙ = √(n − 2) → n = 1 için tanımsız → dizi değildir
Dizi türleri:
- Sabit dizi: Bütün terimleri eşit (aₙ = 5)
- Eşit diziler: Her n için aₙ = bₙ
- Artan dizi: Her n için aₙ₊₁ − aₙ > 0 · Azalan: aₙ₊₁ − aₙ < 0
- aₙ = n / (n + 1) → 1/2, 2/3, 3/4, … → artan
İndirgemeli diziler ve Fibonacci
İndirgemeli (rekürsif) dizi: Terimlerin önceki terimler cinsinden verildiği dizi
- a₁ = 3, aₙ₊₁ = 2aₙ − 1 → 3, 5, 9, 17, 33, …
Fibonacci dizisi: a₁ = a₂ = 1, aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ
→ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
- Leonardo Fibonacci 1202’de tavşan çoğalması problemiyle tanıttı.
- Ardışık terimlerin oranı altın orana yaklaşır: 21/13 ≈ 1,615 · 55/34 ≈ 1,618 → φ ≈ 1,618
- Ayçiçeği tohumlarının ve çam kozalaklarının spiral sayıları çoğunlukla Fibonacci sayılarıdır (34 ve 55 gibi).
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fibonacci | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 |
Aritmetik dizi
Aritmetik dizi: Ardışık iki terim arasındaki fark sabit olan dizi → aₙ₊₁ − aₙ = d (ortak fark)
Genel terim: aₙ = a₁ + (n − 1)d · iki terim arasında: aₙ = aₖ + (n − k)d
Orta terim: aₖ = (aₖ₋ₚ + aₖ₊ₚ) / 2 → eşit uzaklıktaki terimlerin ortalaması
İlk n terim toplamı: Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 = n[2a₁ + (n − 1)d] / 2
Örnek: a₃ = 11 ve a₇ = 23 olan aritmetik dizide
- a₇ − a₃ = 4d = 12 → d = 3, a₁ = 11 − 2 · 3 = 5
- a₂₀ = 5 + 19 · 3 = 62, S₂₀ = 20 · (5 + 62) / 2 = 670
Gauss’un toplamı: 1 + 2 + … + 100 = 100 · 101 / 2 = 5050
Gerçek hayat: İlk sırasında 20 koltuk olan ve her sırada 2 koltuk artan 15 sıralı bir salonda son sırada 20 + 14 · 2 = 48 koltuk, toplam 15 · (20 + 48) / 2 = 510 koltuk vardır.
Kavramlar
- dizi
- pozitif tam sayılarda tanımlı fonksiyon
- genel terim
- n. terimi veren ifade
- ortak fark
- aritmetik dizide ardışık terim farkı
- indirgemeli dizi
- önceki terimlerle tanımlanan dizi
- altın oran
- ≈ 1,618 olan özel oran
- Dizi: ℤ⁺ → ℝ fonksiyonu; genel terim aₙ
- Her pozitif tam sayıda tanımlı olmalı
- Artan: aₙ₊₁ − aₙ > 0; azalan: < 0
- Fibonacci: aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ; oran → altın oran ≈ 1,618
- Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d
- Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2; Gauss: 1 + … + 100 = 5050
Örnek soru ve çözümü
Grafikteki noktalar aₙ = 2n + 1 dizisinin ilk altı terimini göstermektedir. Bu dizi aritmetik midir? 50. terimi ve ilk 50 terimin toplamını bulunuz.
Ardışık terimler arasındaki fark hep 2 olduğundan aritmetik dizidir (d = 2, a₁ = 3). a₅₀ = 2 · 50 + 1 = 101. S₅₀ = 50 · (3 + 101) / 2 = 2600.
Çözümlü örnekler
1. aₙ = n² − 1 dizisinin 4. terimi kaçtır? Kolay
Çözüm4² − 1 = 15.
2. Ortak farkı −4 ve birinci terimi 50 olan aritmetik dizinin kaçıncı terimi 2’dir? Orta
Çözüm2 = 50 + (n − 1)(−4) → (n − 1) · 4 = 48 → n = 13.
3. Bir aritmetik dizide a₄ + a₁₂ = 40 ise ilk 15 terimin toplamı kaçtır? Zor
Çözüma₁ + a₁₅ = a₄ + a₁₂ = 40 (indis toplamları eşit: 16). S₁₅ = 15 · 40 / 2 = 300.
Sık yapılan hatalar
- Dizinin grafiğini sürekli çizgi olarak çizmek (yalnızca noktalardır).
- aₙ = a₁ + nd yazmak (doğrusu (n − 1)d).
- Paydası bazı n değerlerinde sıfır olan ifadeyi dizi saymak.
Biliyor muydun?
Rivayete göre küçük Gauss’un öğretmeni sınıfı oyalamak için 1’den 100’e kadar toplamayı istedi; Gauss baştan ve sondan eşleştirdiği 50 tane 101’i çarparak sonucu dakikalar içinde buldu!