Eşitlik ve denklem, eşitliğin korunumu, denklem çözme ve gerçek yaşam problemlerini denklemle çözme.
Eşitlik ve denklem
İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere denklem denir. Bilinmeyenin derecesi (üssü) 1 ise denklem birinci derecedendir.
- 2x + 3 = 11 → birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
- Denklemi doğru yapan değere denklemin kökü (çözümü) denir: x = 4, çünkü 2 · 4 + 3 = 11 ✓
💡 Denklemi eşit kollu bir terazi gibi düşün: Kefelerden birine ne yaparsan diğerine de aynısını yapmalısın, yoksa terazi bozulur.
Eşitliğin korunumu
Bir eşitliğin iki tarafına:
- aynı sayı eklenebilir ya da çıkarılabilir,
- iki tarafı aynı sayıyla (0 hariç) çarpılabilir ya da bölünebilir;
eşitlik bozulmaz.
Çözüm adımları: 3x − 7 = 14
- İki tarafa 7 ekle: 3x = 21
- İki tarafı 3’e böl: x = 7
- Kontrol: 3 · 7 − 7 = 14 ✓
Daha karmaşık denklemler
Bilinmeyen iki tarafta da olabilir ya da parantez içinde bulunabilir:
Örnek 1: 5x + 4 = 2x + 19
- İki taraftan 2x çıkar: 3x + 4 = 19
- 3x = 15 → x = 5
Örnek 2: 3(x − 2) = x + 8
- Parantezi aç: 3x − 6 = x + 8
- 2x = 14 → x = 7
Örnek 3 (kesirli): x/4 + 3 = 7
- x/4 = 4 → x = 16
Denklem kurarak problem çözme
- Bilinmeyeni belirle ve harfle göster.
- Problemdeki bilgileri eşitliğe çevir.
- Denklemi çöz.
- Sonucu problemin içinde kontrol et.
Örnek: Ardışık üç tek sayının toplamı 51’dir. En küçüğü kaçtır?
- Sayılar: x, x + 2, x + 4
- x + x + 2 + x + 4 = 51 → 3x + 6 = 51 → 3x = 45 → x = 15
- Kontrol: 15 + 17 + 19 = 51 ✓
Örnek: Emre’nin yaşı kardeşinin yaşının 3 katıdır. Yaşları toplamı 24 ise kardeşi kaç yaşındadır?
- Kardeş: x, Emre: 3x → 4x = 24 → x = 6
Kavramlar
- Denklem
- İçinde bilinmeyen bulunan eşitlik.
- Kök
- Denklemi sağlayan değer.
- Birinci derece
- Bilinmeyenin üssünün 1 olması.
- Eşitliğin korunumu
- İki tarafa aynı işlem yapıldığında eşitliğin bozulmaması.
- Denklem: bilinmeyen içeren eşitlik
- Kök: denklemi doğru yapan değer
- İki tarafa aynı işlem eşitliği korur
- Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa topla
- Ardışık tek/çift sayılar: x, x + 2, x + 4
- Bulduğun sonucu mutlaka kontrol et
Örnek soru ve çözümü
4(x + 1) − 2x = 18 denklemini çözünüz.
4x + 4 − 2x = 18 → 2x + 4 = 18 → 2x = 14 → x = 7. Kontrol: 4 · 8 − 14 = 32 − 14 = 18 ✓
Çözümlü örnekler
1. x − 9 = −4 denklemini çözünüz. Kolay
Çözümİki tarafa 9 ekle: x = 5.
2. 7x − 5 = 3x + 15 denklemini çözünüz. Orta
Çözüm7x − 3x = 15 + 5 → 4x = 20 → x = 5.
3. Bir sayının 2 katının 5 fazlası, aynı sayının 4 katının 7 eksiğine eşittir. Sayı kaçtır? Orta
Çözüm2x + 5 = 4x − 7 → 12 = 2x → x = 6.
4. Bir babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıdır. 6 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacaktır. Oğul şimdi kaç yaşındadır? Zor
ÇözümOğul x, baba 4x. 6 yıl sonra: 4x + 6 = 3(x + 6) → 4x + 6 = 3x + 18 → x = 12. Oğul 12, baba 48 yaşındadır (6 yıl sonra 18 ve 54 ✓).
Sık yapılan hatalar
- Bir tarafa yapılan işlemi diğer tarafa yapmamak.
- Terimi karşı tarafa geçirirken işaretini değiştirmeyi unutmak.
- Parantezi açarken yalnızca ilk terimi çarpmak.
- Kontrol yapmamak.
Biliyor muydun?
El-Harezmî’nin “el-Kitâbu’l-Muhtasar fî Hisâbi’l-Cebr ve’l-Mukâbele” adlı eseri, denklem çözmenin yöntemlerini anlatan ilk sistemli kitaptır. “Cebr” karşı tarafa geçirmek, “mukâbele” benzerleri sadeleştirmek demektir.