Değişken, terim, katsayı, benzer terimler; cebirsel ifadelerle toplama-çıkarma, bir sayıyla çarpma ve değer hesaplama.
Cebirin dili
Bilinmeyen ya da değişebilen çoklukları harflerle göstermek matematiği çok güçlü kılar. Bu harflere değişken denir.
3x + 5 ifadesinde:
- x değişkendir.
- 3x ve 5 birer terimdir.
- 3, x’in katsayısıdır.
- 5 sabit terimdir.
Sözelden cebire:
| Sözel ifade | Cebirsel ifade |
|---|---|
| Bir sayının 4 fazlası | x + 4 |
| Bir sayının 3 katının 2 eksiği | 3x − 2 |
| Bir sayının yarısı | x/2 |
| Ardışık iki sayının toplamı | x + (x + 1) |
Benzer terimler ve toplama-çıkarma
Değişkenleri ve üsleri aynı olan terimlere benzer terimler denir. 4x ile −7x benzerdir; 4x ile 4x² ya da 4y benzer değildir.
Cebirsel ifadelerde yalnızca benzer terimler toplanıp çıkarılır; katsayılar toplanır, değişken aynen yazılır.
- 5a + 3a = 8a
- 7x − 2 − 4x + 9 = (7x − 4x) + (−2 + 9) = 3x + 7
- (3m + 2) − (m − 5) = 3m + 2 − m + 5 = 2m + 7
⚠️ Parantezin önünde eksi varsa parantez açılırken içindeki bütün terimlerin işareti değişir: −(m − 5) = −m + 5.
Bir sayıyla çarpma: dağılma
Bir cebirsel ifadeyi bir sayıyla çarparken dağılma özelliğini kullanırız: sayı, parantezin içindeki her terimle çarpılır.
- 3(2x + 5) = 6x + 15
- −2(4a − 3) = −8a + 6
- 5(x − 1) + 2(x + 4) = 5x − 5 + 2x + 8 = 7x + 3
Ortak çarpan parantezine almak dağılmanın tersidir: 6x + 9 = 3(2x + 3).
Değer hesaplama ve örüntüler
Bir cebirsel ifadede değişkenin yerine bir sayı yazarak ifadenin değerini buluruz.
Örnek: x = −2 için 3x² − x + 4 = 3 · 4 − (−2) + 4 = 12 + 2 + 4 = 18.
Örüntünün kuralı: 5, 8, 11, 14, … örüntüsünde her adımda 3 eklenir. n. terim: 3n + 2.
- 1. terim: 3 · 1 + 2 = 5 ✓
- 10. terim: 3 · 10 + 2 = 32
💡 Örüntünün kuralını bulmak için ardışık terimler arasındaki farka bak; bu fark n’nin katsayısı olur.
Kavramlar
- Değişken
- Farklı değerler alabilen, harfle gösterilen çokluk.
- Terim
- Cebirsel ifadede + ya da − ile ayrılan her parça.
- Katsayı
- Değişkenle çarpılan sayı.
- Benzer terimler
- Değişkenleri ve üsleri aynı olan terimler.
- Terim, katsayı, değişken, sabit terim
- Yalnızca benzer terimler toplanır/çıkarılır
- −(a − b) = −a + b
- Dağılma: k(a + b) = ka + kb
- Değer hesaplarken negatif sayıyı parantezle yaz
- Örüntüde fark = n’nin katsayısı
Örnek soru ve çözümü
(5x − 3) − (2x − 7) + 4x ifadesini sadeleştiriniz.
5x − 3 − 2x + 7 + 4x = (5x − 2x + 4x) + (−3 + 7) = 7x + 4.
Çözümlü örnekler
1. 4a + 7 − a + 2 ifadesini sadeleştiriniz. Kolay
Çözüm(4a − a) + (7 + 2) = 3a + 9.
2. −3(2y − 4) + 5y ifadesini sadeleştiriniz. Orta
Çözüm−6y + 12 + 5y = −y + 12.
3. Bir dikdörtgenin kenarları (x + 3) ve 2x cm’dir. Çevresini cebirsel ifadeyle yazınız. Orta
Çözüm2 · [(x + 3) + 2x] = 2(3x + 3) = 6x + 6 cm.
4. 7, 11, 15, 19, … örüntüsünün 25. terimi kaçtır? Kaçıncı terim 107’dir? Zor
ÇözümFark 4 → n. terim 4n + 3. 25. terim: 103. 4n + 3 = 107 → n = 26; 107, 26. terimdir.
Sık yapılan hatalar
- Benzer olmayan terimleri toplamak: 3x + 2 ≠ 5x.
- Parantezin önündeki eksiyi yalnız ilk terime dağıtmak.
- Negatif değeri yerine yazarken parantez kullanmamak: x = −2 için x² = (−2)² = 4.
Biliyor muydun?
Eskiden cebir kelimesi yerine “ilm-i cebr” denirdi. Harf kullanmak yerine her şey uzun cümlelerle yazılırdı: “Bir şeyin üç katına beş eklersen…”