Eşit olasılıklı olaylar, ayrık ve ayrık olmayan olayların olasılıkları.
Eşit olasılıklı olaylar
Bir deneyde her çıktının gerçekleşme şansı aynıysa bu çıktılar eşit olasılıklıdır.
- Hileli olmayan bir madeni parada yazı ve tura eşit olasılıklıdır: ikisinin de olasılığı 1/2.
- Hileli olmayan bir zarda 1’den 6’ya kadar her yüzün olasılığı 1/6’dır.
- İki olay, çıktı sayıları aynıysa eşit olasılıklıdır: Zarda “çift sayı gelmesi” (2, 4, 6) ile “tek sayı gelmesi” (1, 3, 5) eşit olasılıklıdır.
⚠️ Eşit olmayan dilimli bir çarkta her renk eşit olasılıklı değildir! Büyük dilimin olasılığı daha fazladır.
Ayrık olaylar
Aynı anda gerçekleşemeyen iki olaya ayrık olaylar denir.
Örnek: Bir zar atılıyor.
- A: “3 gelmesi”, B: “çift sayı gelmesi” → Bir sayı hem 3 hem çift olamaz. A ile B ayrıktır.
Ayrık iki olaydan birinin ya da diğerinin gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının toplamıdır:
P(A veya B) = P(A) + P(B)
Yukarıdaki örnekte: P(3 veya çift) = 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3.
Ayrık olmayan olaylar
Aynı anda gerçekleşebilen olaylar ayrık değildir.
Örnek: Bir zar atılıyor.
- A: “çift sayı gelmesi” {2, 4, 6}, B: “3’ten büyük gelmesi” {4, 5, 6} → 4 ve 6 iki olaya da aittir. A ile B ayrık değildir.
Bu durumda olasılıkları doğrudan toplarsak ortak çıktıları iki kez saymış oluruz. Bunun yerine istenen durumları tek tek sayarız:
- A veya B: {2, 4, 5, 6} → 4 çıktı → P = 4/6 = 2/3
- (Toplasaydık 3/6 + 3/6 = 1 bulurduk ve yanılırdık!)
Kural: P(A veya B) = P(A) + P(B) − P(ikisi birden)
💡 Venn şeması, ayrık olmayan olaylarda ortak çıktıları görmenin en kolay yoludur.
Olasılık stratejileri
Olasılık sorularında şu adımları izle:
- Örnek uzayı (bütün olası çıktıları) yaz.
- İstenen olayın çıktılarını belirle.
- Olaylar ayrık mı, değil mi? Ortak çıktı varsa iki kez sayma.
- Bazen tümleyen hesaplamak daha kolaydır: P(en az bir) = 1 − P(hiç).
Kavramlar
- Eşit olasılıklı olay
- Gerçekleşme şansları aynı olan olaylar.
- Ayrık olaylar
- Aynı anda gerçekleşemeyen olaylar.
- Örnek uzay
- Bir deneyin bütün olası çıktılarının kümesi.
- Venn şeması
- Kümeleri ve ortak elemanlarını gösteren çizim.
- Eşit olasılıklı: her çıktının şansı aynı
- Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemez
- Ayrıkta: P(A veya B) = P(A) + P(B)
- Ayrık olmayanda ortak çıktılar bir kez sayılır
- P(A veya B) = P(A) + P(B) − P(ikisi)
- Venn şeması ortak çıktıları gösterir
Örnek soru ve çözümü
1’den 10’a kadar numaralı kartlardan biri çekiliyor. Çekilen kartın 3’ün katı veya 5’in katı olma olasılığı kaçtır?
3’ün katları: 3, 6, 9. 5’in katları: 5, 10. Ortak eleman yok, olaylar ayrıktır. P = 3/10 + 2/10 = 5/10 = 1/2.
Çözümlü örnekler
1. Bir zar atıldığında 1 gelmesi ile 6 gelmesi olayları ayrık mıdır? Kolay
ÇözümEvet; zar aynı anda hem 1 hem 6 gösteremez.
2. 1’den 20’ye kadar numaralı toplardan biri çekiliyor. Çekilen topun çift veya 5’in katı olma olasılığı kaçtır? Orta
ÇözümÇiftler: 10 tane. 5’in katları: 5, 10, 15, 20 → 4 tane. Ortak: 10, 20 → 2 tane. Sayı: 10 + 4 − 2 = 12. P = 12/20 = 3/5.
3. Bir sınıfta 30 öğrenciden 18’i futbol, 12’si basketbol oynuyor; 5’i ikisini de oynuyor. Rastgele seçilen bir öğrencinin futbol veya basketbol oynama olasılığı kaçtır? Zor
ÇözümFutbol veya basketbol: 18 + 12 − 5 = 25 öğrenci. P = 25/30 = 5/6.
Sık yapılan hatalar
- Ayrık olmayan olayların olasılıklarını doğrudan toplamak.
- Eşit dilimli olmayan bir çarkta her rengi eşit olasılıklı saymak.
- Olasılığın 1’den büyük çıkabileceğini düşünmek.
Biliyor muydun?
İki zarla en sık gelen toplam 7’dir; 36 olası sonuçtan 6’sı 7 verir. Masa oyunlarında “7” sayısının bu kadar sık çıkması tesadüf değil!