Parantez, üs, çarpma-bölme ve toplama-çıkarma sırası; çok adımlı rasyonel sayı işlemleri.
Neden bir sıra var?
“3 + 4 · 2” işlemini herkes farklı sırayla yapsa kimi 14, kimi 11 bulurdu. Matematikte herkesin aynı sonuca ulaşması için bir işlem sırası üzerinde anlaşılmıştır.
İşlem önceliği sırası:
- Parantez içi (en içteki parantezden başlanır)
- Üslü ifadeler
- Çarpma ve bölme (soldan sağa, hangisi önce gelirse)
- Toplama ve çıkarma (soldan sağa, hangisi önce gelirse)
Yani 3 + 4 · 2 = 3 + 8 = 11.
💡 Çarpma, bölmeden “daha önemli” değildir; ikisi aynı önceliktedir ve soldan sağa yapılır. Toplama ile çıkarma için de aynısı geçerlidir.
Soldan sağa kuralı
Aynı öncelikteki işlemler yazıldığı sırayla, soldan sağa yapılır.
- 24 ÷ 4 · 2 = 6 · 2 = 12 (24 ÷ 8 = 3 değil!)
- 10 − 6 + 3 = 4 + 3 = 7 (10 − 9 = 1 değil!)
- (−18) ÷ 3 · (−2) = (−6) · (−2) = 12
⚠️ En sık yapılan hata, çarpmayı her zaman bölmeden önce yapmaktır. Hangisi solda ise o önce yapılır.
İşaretlerle birlikte öncelik
Negatif sayılar işin içine girince işaret kurallarını öncelik sırasıyla birlikte uygularız.
Örnek: (−8) − (−5) · 2 + 6
- Önce çarpma: (−5) · 2 = −10
- İşlem: (−8) − (−10) + 6
- Çıkarmayı toplamaya çevir: (−8) + 10 + 6 = 8
Örnek: (−18) ÷ (−3) + (−7) − 5
- Bölme: (−18) ÷ (−3) = 6
- 6 + (−7) − 5 = −1 − 5 = −6
Köşeli ve iç içe parantezler
Birden fazla parantez varsa en içteki parantezden başlanır. İç içe parantezlerde ( ), [ ] ve { } kullanılır.
Örnek: (−12) − [(−4) + 4] · 4
- En içteki köşeli parantez: (−4) + 4 = 0
- 0 · 4 = 0
- (−12) − 0 = −12
Örnek: 2 · [5 − (3 − 7)²] ÷ (−3)
- (3 − 7) = −4
- (−4)² = 16
- 5 − 16 = −11
- 2 · (−11) = −22
- −22 ÷ (−3) = 22/3
Kesirli çok adımlı işlemler
Rasyonel sayılarda da aynı sıra geçerlidir; yalnızca her adımda kesir işlemlerini dikkatle yaparız.
Örnek: 1/2 + 3/4 · (2/3 − 1/6)²
- Parantez: 2/3 − 1/6 = 4/6 − 1/6 = 3/6 = 1/2
- Üs: (1/2)² = 1/4
- Çarpma: 3/4 · 1/4 = 3/16
- Toplama: 1/2 + 3/16 = 8/16 + 3/16 = 11/16
💡 Uzun işlemlerde her adımı alt alta yazmak hata yapma olasılığını çok azaltır.
Kavramlar
- İşlem önceliği
- Birden çok işlem içeren bir ifadede işlemlerin hangi sırayla yapılacağını belirleyen kural.
- Köşeli parantez
- [ ] işareti; iç içe parantezlerde dıştaki grubu gösterir.
- Çok adımlı işlem
- Sonuca birden fazla işlem yapılarak ulaşılan ifade.
- Sıra: parantez → üs → çarpma/bölme → toplama/çıkarma
- Aynı öncelikte: soldan sağa
- 24 ÷ 4 · 2 = 12
- En içteki parantezden başla
- Çıkarmayı tersiyle toplamaya çevir
- Her adımı alt alta yaz
Örnek soru ve çözümü
(−8) − (−5) · 2 + 6 işleminin sonucunu bulunuz.
Önce çarpma: (−5)·2 = −10. Sonra (−8) − (−10) + 6 = (−8) + 10 + 6 = 8.
Çözümlü örnekler
1. 36 ÷ 6 · 3 − 4 işlemini yapınız. Kolay
ÇözümSoldan sağa: 36 ÷ 6 = 6, 6 · 3 = 18, 18 − 4 = 14.
2. 24 ÷ (−6) · (−2) + 5 işlemini yapınız. Orta
Çözüm24 ÷ (−6) = −4; (−4)·(−2) = 8; 8 + 5 = 13.
3. (−15) − [(−8) + 4] · 2 işlemini yapınız. Orta
ÇözümParantez: (−8) + 4 = −4. Çarpma: (−4)·2 = −8. (−15) − (−8) = −15 + 8 = −7.
4. [(−2)³ + 3²] · (−1)⁵ − 12 ÷ (−2)² işlemini yapınız. Zor
Çözüm(−2)³ = −8, 3² = 9 → köşeli parantez: 1. (−1)⁵ = −1 → 1·(−1) = −1. (−2)² = 4 → 12 ÷ 4 = 3. Sonuç: −1 − 3 = −4.
Sık yapılan hatalar
- Toplamayı çarpmadan önce yapmak: 3 + 4 · 2 ≠ 14.
- Çarpmayı bölmeden önce yapmak: 24 ÷ 4 · 2 ≠ 3.
- Üssü parantezin dışındaki işaretle birlikte almak: −2² = −4 ama (−2)² = 4.
- İç içe parantezlerde dıştakinden başlamak.
Biliyor muydun?
Hesap makinelerinin bazıları (özellikle eski ve basit olanlar) işlem önceliğini bilmez ve tuşlara basıldığı sırayla hesaplar. 3 + 4 × 2 yazınca 14 gösterebilirler!