Rasyonel sayılarla dört işlem, işlem özellikleri ve gerçek yaşam problemleri.
Toplama ve çıkarma
Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma yaparken paydalar eşitlenir, paylar tam sayılardaki kurallarla toplanır ya da çıkarılır, payda aynen yazılır.
- 2/3 + (−5/6) → paydalar 6’da eşitlenir: 4/6 + (−5/6) = −1/6
- (−3/4) − (−1/2) = (−3/4) + 2/4 = −1/4
- Tam sayılı kesirlerde önce bileşik kesre çevirmek kolaylık sağlar: 2 1/3 − 3 1/2 = 7/3 − 7/2 = 14/6 − 21/6 = −7/6
💡 Paydaları eşitlerken en küçük ortak katı (EKOK) kullanırsan sayılar küçük kalır ve sadeleştirme kolaylaşır.
Çarpma
İki rasyonel sayı çarpılırken pay ile pay, payda ile payda çarpılır; işaret, tam sayılardaki gibi belirlenir.
- (−2/3) · (9/4) = −18/12 = −3/2
- Çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapmak işi kolaylaştırır: (−2/3) · (9/4) → 2 ile 4, 3 ile 9 sadeleşir → (−1/1) · (3/2) = −3/2.
- Bir sayının kesir kadarını bulmak çarpmadır: 240’ın 3/8’i = 240 · 3/8 = 90.
💡 Çarpmaya göre tersi: çarpımları 1 olan iki sayıdır. 3/5’in çarpmaya göre tersi 5/3, −4’ün tersi −1/4’tür. 0’ın çarpmaya göre tersi yoktur.
Bölme
Rasyonel sayılarda bölme, bölenin çarpmaya göre tersiyle çarpma işlemine dönüştürülür:
a/b ÷ c/d = a/b · d/c
- (3/4) ÷ (−9/8) = (3/4) · (−8/9) = −24/36 = −2/3
- 6 ÷ (2/3) = 6 · (3/2) = 9 → “6’nın içinde kaç tane 2/3 var?” sorusunun cevabıdır.
⚠️ Bir sayıyı 1’den küçük pozitif bir sayıya böldüğümüzde sonuç büyür! 6 ÷ 1/2 = 12. Çünkü 6’nın içinde 12 tane yarım vardır.
İşlem özellikleri
Rasyonel sayılarda işlemler, tam sayılardaki özellikleri korur:
| Özellik | Toplamada | Çarpmada |
|---|---|---|
| Değişme | a + b = b + a | a · b = b · a |
| Birleşme | (a + b) + c = a + (b + c) | (a · b) · c = a · (b · c) |
| Etkisiz eleman | 0 | 1 |
| Ters eleman | a + (−a) = 0 | a · (1/a) = 1 (a ≠ 0) |
Dağılma özelliği: a · (b + c) = a·b + a·c. Örneğin 3/4 · (8 + 4/3) = 6 + 1 = 7. Bu özellik zihinden işlemi çok hızlandırır.
Gerçek yaşam problemleri
Kesirli problemlerde “bütün” neyse onu iyi belirlemek gerekir.
Örnek: Elif harçlığının 1/4’ünü kitaba, kalanın 2/3’ünü sinemaya harcıyor; geriye 60 TL kalıyor. Harçlığı kaç TL’dir?
- Kitaptan sonra kalan: 1 − 1/4 = 3/4
- Sinemaya giden: kalanın 2/3’ü → 3/4 · 2/3 = 1/2 (harçlığın yarısı)
- Geriye kalan: 3/4 − 1/2 = 1/4 → harçlığın 1/4’ü 60 TL
- Harçlık: 60 · 4 = 240 TL
⚠️ “Kalanın 2/3’ü” ile “tamamının 2/3’ü” farklıdır. Kesir her zaman hangi bütüne göre söylendiyse ona uygulanır.
Kavramlar
- Çarpmaya göre ters
- Bir sayıyla çarpımı 1 olan sayı: 2/7’nin tersi 7/2.
- Bileşik kesir
- Payı paydasından büyük ya da eşit kesir: 9/4.
- Tam sayılı kesir
- Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan gösterim: 2 1/4.
- Dağılma özelliği
- Çarpmanın toplama üzerine dağılması: a(b + c) = ab + ac.
- Toplama-çıkarma: paydaları eşitle
- Çarpma: pay·pay / payda·payda (önce sadeleştir)
- Bölme: bölenin tersiyle çarp
- 1’den küçük pozitif sayıya bölmek sonucu büyütür
- a·(b + c) = a·b + a·c
- “Kalanın” kesri, kalan bütüne uygulanır
Örnek soru ve çözümü
(−2/5) · (15/8) ÷ (−3/4) işleminin sonucunu bulunuz.
(−2/5)·(15/8) = −30/40 = −3/4. (−3/4) ÷ (−3/4) = 1.
Çözümlü örnekler
1. 1/2 + 2/3 − 5/6 işlemini yapınız. Kolay
ÇözümPayda 6: 3/6 + 4/6 − 5/6 = 2/6 = 1/3.
2. Bir su deposunun 3/8’i doludur. Depoya 150 L su eklenince yarısı doluyor. Depo kaç litredir? Orta
Çözüm1/2 − 3/8 = 1/8. Deponun 1/8’i 150 L → depo 150 · 8 = 1200 L.
3. −1 1/2 ÷ (−3/4) + 2/3 işlemini yapınız. Orta
Çözüm−3/2 ÷ (−3/4) = −3/2 · (−4/3) = 2. 2 + 2/3 = 8/3.
4. Bir öğrenci kitabının ilk gün 1/3’ünü, ikinci gün kalanın 1/4’ünü, üçüncü gün de kalanın 2/5’ini okuyor. Geriye 54 sayfa kalıyor. Kitap kaç sayfadır? Zor
Çözümİlk gün sonra kalan 2/3. İkinci gün kalanın 1/4’ü okunur → kalan 2/3 · 3/4 = 1/2. Üçüncü gün kalanın 2/5’i okunur → kalan 1/2 · 3/5 = 3/10. Kitabın 3/10’u 54 sayfa → 1/10’u 18 → kitap 180 sayfadır.
Sık yapılan hatalar
- Toplamada payları ve paydaları ayrı ayrı toplamak (1/2 + 1/3 ≠ 2/5).
- Bölmede birinci kesri ters çevirmek; ters çevrilen bölendir.
- “Kalanın kesri” ile “tamamının kesri”ni karıştırmak.
- Tam sayılı negatif kesri yanlış çevirmek: −2 1/3 = −7/3’tür, −5/3 değil.
Biliyor muydun?
Antik Mısırlılar 3/4 gibi kesirleri bile yalnızca payı 1 olan kesirlerin toplamı olarak yazardı: 3/4 = 1/2 + 1/4. Bunlara bugün “Mısır kesirleri” diyoruz.