Deney, çıktı, örnek uzay, olay; teorik olasılık hesabı, kesin ve imkânsız olay, tümleyen olay.
Olasılığın dili
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını 0 ile 1 arasında bir sayıyla ifade eder.
- Deney: Sonucu önceden kesin bilinmeyen işlem (zar atmak, torbadan top çekmek).
- Çıktı: Deneyin olası her sonucu (zarda 4 gelmesi).
- Örnek uzay: Bütün çıktıların kümesi. Zar için {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Olay: Örnek uzayın bir alt kümesi. “Çift gelmesi” = {2, 4, 6}.
Teorik olasılık
Çıktıların eşit olasılıklı olduğu deneylerde bir olayın teorik olasılığı:
P(Olay) = İstenen çıktı sayısı ÷ Tüm çıktı sayısı
Örnek: Torbada 3 kırmızı, 5 mavi, 2 yeşil top var. Mavi çekme olasılığı: P(mavi) = 5/10 = 1/2.
| Olay | Olasılık |
|---|---|
| İmkânsız olay (zarda 7 gelmesi) | 0 |
| Kesin olay (zarda 7’den küçük gelmesi) | 1 |
| Diğer olaylar | 0 ile 1 arası |
💡 Olasılık kesir, ondalık ya da yüzde olarak yazılabilir: 1/4 = 0,25 = %25.
Tümleyen olay
Bir A olayının gerçekleşmemesi durumuna A’nın tümleyeni denir ve A′ ile gösterilir.
P(A) + P(A′) = 1 → P(A′) = 1 − P(A)
Örnek: Hava durumuna göre yarın yağmur yağma olasılığı %30 ise yağmama olasılığı %70’tir.
Örnek: Zarda 6 gelme olasılığı 1/6 → 6 gelmeme olasılığı 5/6.
💡 “En az bir”, “hiç değil” gibi sorularda tümleyen kullanmak çok işe yarar.
Deneysel ve teorik olasılık
Bir parayı 10 kez atıp 7 tura elde edebilirsin. Bu deneysel olasılıktır (7/10). Teorik olasılık ise 1/2’dir.
- Deney sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır. 1000 kez atınca turaların oranı 1/2’ye çok yakın çıkar.
- Önceki sonuçlar sonraki atışı etkilemez: 5 kez yazı gelmesi, 6. atışta tura gelme olasılığını artırmaz; hâlâ 1/2’dir.
Kavramlar
- Deney
- Sonucu önceden kesin bilinmeyen işlem.
- Örnek uzay
- Bir deneyin bütün olası çıktılarının kümesi.
- Tümleyen olay
- Bir olayın gerçekleşmemesi durumu.
- Kesin olay
- Olasılığı 1 olan, mutlaka gerçekleşen olay.
- P(Olay) = istenen ÷ tüm çıktılar
- 0 ≤ P ≤ 1
- İmkânsız olay: 0 · kesin olay: 1
- P(A′) = 1 − P(A)
- Deney sayısı arttıkça deneysel olasılık teoriğe yaklaşır
- Önceki sonuçlar bağımsız atışları etkilemez
Örnek soru ve çözümü
1’den 20’ye kadar numaralı kartlardan biri çekiliyor. Kartın asal sayı OLMAMA olasılığı kaçtır?
1–20 arasındaki asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 → 8 tane. P(asal) = 8/20 = 2/5. P(asal olmama) = 1 − 2/5 = 3/5.
Çözümlü örnekler
1. Bir zar atıldığında 4’ten büyük gelme olasılığı kaçtır? Kolay
Çözüm{5, 6} → 2/6 = 1/3.
2. Bir torbada 4 kırmızı ve bir miktar mavi top var. Kırmızı çekme olasılığı 1/3 ise torbada kaç mavi top vardır? Orta
ÇözümToplam top t olsun: 4/t = 1/3 → t = 12. Mavi: 12 − 4 = 8.
3. Bir sınıftaki 25 öğrenciden rastgele seçilen birinin gözlüklü olmama olasılığı 0,72’dir. Sınıfta kaç gözlüklü öğrenci vardır? Zor
ÇözümP(gözlüklü) = 1 − 0,72 = 0,28. 0,28 · 25 = 7 gözlüklü öğrenci.
Sık yapılan hatalar
- Olasılığın 1’den büyük ya da negatif olabileceğini düşünmek.
- Önceki sonuçların bağımsız bir atışı etkilediğini sanmak (“5 kez yazı geldi, şimdi kesin tura gelir”).
- Tümleyen olasılığını 1’den çıkarmayı unutmak.
Biliyor muydun?
Olasılık teorisi, 17. yüzyılda Pascal ile Fermat’nın yarıda kalan bir zar oyununda ödülün nasıl paylaşılacağı üzerine yazıştıkları mektuplarla doğdu.