Tam sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme; işaret kuralları, üslü ifadeler ve gerçek yaşam problemleri.
Toplama: aynı yön, ters yön
Tam sayılarla toplamayı sayı doğrusunda adım atmak gibi düşünebiliriz: pozitif sayı sağa, negatif sayı sola gider.
- İşaretleri aynı iki sayı toplanırken mutlak değerler toplanır, ortak işaret konur: (−4) + (−3) = −7, (+4) + (+3) = +7.
- İşaretleri farklı iki sayı toplanırken büyük mutlak değerden küçük çıkarılır, mutlak değeri büyük olanın işareti konur: (−9) + 4 = −5, 9 + (−4) = 5.
- Ters sayıların toplamı 0’dır: (−6) + 6 = 0.
💡 Sıfır etkisiz elemandır: a + 0 = a. Toplamada sıra değiştirilebilir: (−2) + 5 = 5 + (−2).
Çıkarma: tersiyle toplama
Tam sayılarda çıkarma işlemi, çıkanın tersiyle toplama işlemine dönüştürülür:
a − b = a + (−b)
- 3 − 8 = 3 + (−8) = −5
- (−2) − (−7) = (−2) + 7 = 5
- (−6) − 4 = (−6) + (−4) = −10
⚠️ “Eksi eksi artı olur” kuralı çıkarma işaretiyle negatif sayının yan yana gelmesi durumunda geçerlidir: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Ama (−5) + (−3) bir toplama işlemidir ve sonucu −8’dir!
Çarpma ve bölme: işaret kuralı
Çarpma ve bölmede önce sayıların mutlak değerleriyle işlem yapılır, sonra işaret belirlenir:
| İşlem | Sonucun işareti | Örnek |
|---|---|---|
| (+) · (+) | + | 4 · 3 = 12 |
| (−) · (−) | + | (−4) · (−3) = 12 |
| (+) · (−) | − | 4 · (−3) = −12 |
| (−) · (+) | − | (−4) · 3 = −12 |
Bölmede de aynı kural geçerlidir: (−20) ÷ (−5) = 4, (−20) ÷ 5 = −4.
- Bir çarpımda negatif çarpan sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir. (−1) · (−2) · (−3) = −6 (üç negatif → negatif).
- Herhangi bir sayının 0 ile çarpımı 0’dır. 0 bölü bir sayı 0’dır; bir sayı bölü 0 tanımsızdır.
Tam sayıların kuvvetleri
Bir tam sayının kendisiyle tekrarlı çarpımı üslü ifade ile yazılır: (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = −8.
- Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−3)² = 9, (−3)³ = −27.
- Parantezin yeri çok önemlidir: (−3)² = 9 ama −3² = −9. İkincisinde üs yalnızca 3’e aittir.
- Her sayının 1. kuvveti kendisidir; 0’dan farklı her sayının 0. kuvveti 1’dir.
💡 (−1) sayısının kuvvetleri sırayla −1, 1, −1, 1, … diye gider: çift kuvvette 1, tek kuvvette −1.
Problem çözme stratejisi
Tam sayı problemlerinde olayı sayı doğrusuna ya da artı-eksi tablosuna yerleştirmek işi kolaylaştırır:
- Başlangıç değerini belirle (sıcaklık, kat numarası, para…).
- Artışları pozitif, azalışları negatif yaz.
- Hepsini topla ve sonucun anlamını yorumla.
Örnek durum: Bir dalgıç −12 m’de iken önce 5 m yükselip sonra 9 m alçalıyor: −12 + 5 + (−9) = −16. Dalgıç deniz seviyesinin 16 m altındadır.
Kavramlar
- Ters eleman
- Toplamları 0 olan iki sayı: a ve −a.
- Etkisiz eleman
- Toplamada 0, çarpmada 1; sayıyı değiştirmez.
- Üslü ifade
- Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa yazılışı: aⁿ.
- Taban
- Üslü ifadede tekrar tekrar çarpılan sayı: (−2)³’te taban −2’dir.
- Aynı işaretliler: topla, işareti koru
- Farklı işaretliler: büyükten küçüğü çıkar, büyüğün işaretini al
- a − b = a + (−b)
- (−)·(−) = (+), (−)·(+) = (−)
- Negatif sayının çift kuvveti +, tek kuvveti −
- (−3)² = 9 ama −3² = −9
Örnek soru ve çözümü
(−2)·(−5) + 12 ÷ (−4) işleminin sonucunu bulunuz.
Önce çarpma ve bölme yapılır: (−2)·(−5) = 10 ve 12 ÷ (−4) = −3. Sonra toplanır: 10 + (−3) = 7.
Çözümlü örnekler
1. (−8) + 3 − (−6) işlemini yapınız. Kolay
Çözüm(−8) + 3 = −5. −5 − (−6) = −5 + 6 = 1.
2. Bir asansör zemin kattan (0) önce 4 kat aşağı, sonra 7 kat yukarı, en sonda 5 kat aşağı iniyor. Asansör kaçıncı kattadır? Orta
Çözüm0 + (−4) + 7 + (−5) = −2. Asansör yerin altındaki 2. kattadır (−2. kat).
3. (−1)²⁰ + (−1)²¹ + (−2)³ işleminin sonucunu bulunuz. Orta
Çözüm(−1)²⁰ = 1 (çift kuvvet), (−1)²¹ = −1 (tek kuvvet), (−2)³ = −8. Toplam: 1 + (−1) + (−8) = −8.
4. Ardışık üç tam sayının çarpımı −60’tır. Bu sayıların toplamı kaçtır? Zor
ÇözümÇarpım negatif olduğuna göre sayıların biri ya da üçü de negatiftir. Mutlak değerce 3·4·5 = 60 olduğundan sayılar −5, −4, −3 olabilir: (−5)·(−4)·(−3) = −60 ✓. (Biri negatif olsaydı ardışık sayılar arasında 0 bulunur ve çarpım 0 olurdu.) Toplam: −5 + (−4) + (−3) = −12.
Sık yapılan hatalar
- (−5) + (−3) işlemini “eksi eksi artı” diye 8 bulmak; doğrusu −8.
- −3² ile (−3)²’yi karıştırmak.
- Çıkarmada yalnızca ilk sayının işaretini değiştirmek; değişen, çıkan sayıdır.
- Çarpımda negatif çarpanları saymayı unutmak: üç negatif → sonuç negatif.
Biliyor muydun?
Bankalarda eksi bakiye kırmızı renkle yazılırdı. İngilizcedeki “in the red” (kırmızıda olmak) deyimi borçlu olmak anlamına gelir!